VECTORES

ÍNDICE DEFINICIÓN DE VECTOR CLASIFICACIONES DE LOS VECTORES TRIEDRO DE REFERENCIA COMPONENTES CARTESIANAS COSENOS DIRECTORES SISTEMAS COORDENADOS CARTESIANO CILÍNDRICO ESFÉRICO

ÍNDICE PRODUCTO POR UN ESCALAR SUMA VECTORIAL PRODUCTO ESCALAR PRODUCTO VECTORIAL PRODUCTO MIXTO DOBLE PRODUCTO VECTORIAL MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN PUNTO CAMBIO DE CENTRO DE MOMENTOS TEOREMA DE CAMBIO DE POLO

ÍNDICE MOMENTO AXIAL SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN EJE SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES CAMBIO DE CENTRO DE MOMENTOS DE UN SISTEMA TEOREMA DEL CAMBIO DE POLO PAR DE VECTORES REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE VECTORES A UN PUNTO

ÍNDICE FUNCIONES ESCALARES Y VECTORIALES CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES REPRESENTACIÓN DE SUPERFICIES DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL CASOS PARTICULARES INTEGRACIÓN DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL

DEFINICIÓN DE VECTOR Las magnitudes físicas vectoriales son entes abstractos caracterizados por los conceptos de igualdad y suma y susceptibles de ser medidos que requieren especificar una dirección en el espacio a lo largo de la que actúan Recta soporte Módulo: Longitud Extremo Sentido: Desde el origen hasta el extremo Origen (Punto de aplicación) Dirección: La de la recta que contiene al vector

CLASIFICACIONES DE LOS VECTORES Libres Quedan indeterminados el origen y la recta soporte Ejemplos: momento de un par, velocidad angular. Deslizantes Queda indeterminado el origen. Ejemplo: fuerzas que actúan sobre un sólido Ligados o Fijos Completamente determinados. Ejemplos: velocidad o aceleración de una partícula, fuerza en una partícula, campos vectoriales

CLASIFICACIONES DE LOS VECTORES Iguales Idénticos módulo, dirección, sentido y origen. Equipolentes Idénticos módulo, dirección y sentido, diferente origen.

CLASIFICACIONES DE LOS VECTORES Opuestos Sentido contrario Coplanarios Rectas soporte en el mismo plano Concurrentes Las rectas soporte se cortan en un punto

Ejes orientados ortogonales TRIEDRO DE REFERENCIA Ejes orientados ortogonales con el mismo origen x z y Versores o vectores unitarios:

Proyecciones en los ejes: ax, ay, az COMPONENTES CARTESIANAS Proyecciones en los ejes: ax, ay, az a g b Módulo de :

COSENOS DIRECTORES g b a Ángulos directores: a, b, g Vector unitario Módulo 1

CARTESIANO  CILÍNDRICO SISTEMAS COORDENADOS CARTESIANO  CILÍNDRICO P x y z X Y Z (x, y, z) P q X Y Z z Coordenada axial r (r, q, z) Vector radial Vector azimutal

CARTESIANO  ESFÉRICO SISTEMAS COORDENADOS CARTESIANO  ESFÉRICO P x y z X Y Z (x, y, z) P j X Y Z (r, j, q) q r Eje Polar Ángulo azimutal Ángulo polar

PRODUCTO POR UN ESCALAR Expresión en componentes cartesianas:

PRODUCTO POR UN ESCALAR Propiedades: Asociativa respecto de escalares: Distributiva respecto de los escalares: Distributiva respecto de los vectores:

PRODUCTO POR UN ESCALAR Aplicaciones: Vector Unitario (Versor): Vector de módulo 1 también

SUMA VECTORIAL Regla del polígono Regla del paralelogramo Expresión en componentes cartesianas:

SUMA VECTORIAL Propiedades Asociativa Conmutativa Elemento neutro Elemento simétrico

SUMA VECTORIAL z y Restando los dos vectores: x Módulo: EXPRESIÓN DE UN VECTOR EN COMPONENTES CARTESIANAS x z O A(xA,yA,zA) B (xB,yB,zB) y Restando los dos vectores: Módulo:

PRODUCTO ESCALAR a Producto escalar de los vectores unitarios del triedro: x z y

PRODUCTO ESCALAR Expresión en componentes cartesianas:

PRODUCTO ESCALAR Propiedades: Conmutativa: Distributiva: Asociativa respecto de escalares:

PRODUCTO ESCALAR Aplicaciones: Módulo de un vector: Perpendicularidad: Proyección de un vector sobre una recta orientada ( ): a a

PRODUCTO VECTORIAL Módulo: Dirección: Perpendicular a y a a Sentido: El de avance de un sacacorchos al girar desde hacia Sentido: El de avance de un sacacorchos al girar desde hacia También puede ser escrito con la notación:

PRODUCTO VECTORIAL Producto vectorial de los vectores unitarios del triedro: x z y

PRODUCTO VECTORIAL Expresión en componentes cartesianas:

PRODUCTO VECTORIAL Propiedades Anticonmutativa: Distributiva:

PRODUCTO VECTORIAL Aplicaciones: Paralelismo: Área paralelogramo = 2 x Área triángulo a h

PRODUCTO MIXTO a Volumen del Paralelepípedo =

PRODUCTO MIXTO Propiedad Cíclica: Es cero si dos de los vectores son paralelos Expresión en componentes cartesianas:

DOBLE PRODUCTO VECTORIAL contenido en el plano y perpendicular a . Propiedad:

MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN PUNTO Se define como el vector libre P A d a B El vector puede aplicarse en cualquier punto de la recta soporte sin que cambie el valor del momento Es nulo si es paralelo a P A

MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN PUNTO

CAMBIO DE CENTRO DE MOMENTOS TEOREMA DEL CAMBIO DE POLO P A P´

CAMBIO DE CENTRO DE MOMENTOS TEOREMA DEL CAMBIO DE POLO Caso particular P´ P A

MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN EJE MOMENTO AXIAL MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN EJE Proyección sobre el eje del momento del vector con respecto a un punto cualquiera del eje P A

MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN EJE MOMENTO AXIAL MOMENTO DE UN VECTOR RESPECTO A UN EJE No depende del punto P elegido sobre el eje para calcularlo. P A Q Es cero si y son paralelos o y son paralelos (la recta soporte corta al eje).

SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES Para un sistema de n vectores: aplicados en los puntos A1, A2, A3,…, An de sus respectivas rectas soporte, se define: Resultante: (Invariante vectorial del sistema de vectores) Momento resultante respecto a un punto P:

SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES Momento respecto de un eje (momento axial) que contiene al punto :

CAMBIO DE CENTRO DE MOMENTOS DE UN SISTEMA TEOREMA DEL CAMBIO DE POLO P Ai Q

CAMBIO DE CENTRO DE MOMENTOS DE UN SISTEMA TEOREMA DEL CAMBIO DE POLO Caso particular P Q

PAR DE VECTORES Es el sistema formado por dos vectores del mismo módulo, pero opuestos (rectas soporte paralelas).

PAR DE VECTORES Su momento no depende del punto en el que se calcula pues la resultante es cero. P A1 A2 a d

REDUCCIÓN DE UN SISTEMA DE VECTORES A UN PUNTO Todo sistema de vectores deslizantes es equivalente (puede sustituirse sin variar los efectos que causa) a la resultante aplicada en un punto y al momento resultante respecto de ese punto.

FUNCIONES ESCALARES Y VECTORIALES Función Escalar Correspondencia Unívoca: Función Vectorial Correspondencia Unívoca:

FUNCIONES ESCALARES Y VECTORIALES Ejemplo: Curva en el espacio P x(t) y(t) z(t) X Y Z

CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES Campo Escalar Correspondencia Unívoca: Superficies equiescalares: superficies con U=cte=Ui Campo Vectorial Correspondencia Unívoca:

CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES Representación: Líneas de campo, vectoriales o de fuerza. P Q Unión de las sucesivas tangentes a los vectores campo

REPRESENTACIÓN DE SUPERFICIES Superficies abiertas Superficies cerradas Sentido positivo: avance de un tornillo girando con el contorno Sentido positivo: hacia afuera : normal local a la superficie : tangente local a la curva

REPRESENTACIÓN DE SUPERFICIES Ejemplo En superficies planas: S Sz es la proyección de la superficie en el plano XY Z b Y b X

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Dada la función vectorial: Se define la derivada: En componentes cartesianas:

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Derivada segunda: Suma: Producto por un escalar:

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Producto por una función: Producto escalar: Producto vectorial:

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL CASOS PARTICULARES Función Vectorial de dirección constante Y como

DERIVADA DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL CASOS PARTICULARES Función Vectorial de módulo constante

INTEGRACIÓN DE UNA FUNCIÓN VECTORIAL Integral indefinida: Integral definida:

INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL Sea un campo vectorial A B Curva C Se define la integral de línea: Para una curva cerrada se le llama circulación:

CIRCULACIÓN DE UN CAMPO VECTORIAL Propiedades Curva C = Curva C1 + Curva C2