DINÁMICA EN LAS IDEAS DE ESTUDIANTES UNIVERSITARIOS FRENTE AL INFINITO MATEMÁTICO María Jesús Bianchi - Virginia Montoro Departamento de Matemática – Universidad Nacional del Comahue (CRUB) Grupo de Investigación en Pensamiento y Educación Matemática

I N T R O D U C Ó Investigación en curso sobre las concepciones de estudiantes de secundaria y universidad respecto del número real Aplicamos un cuestionario que constaba de 10 tareas relacionadas con el orden, la densidad, la representación en la recta y la completitud, de los números reales, la notación infinita de números y la cardinalidad de conjuntos numéricos.

I N T R O D U C Ó 307 estudiantes de secundaria y universidad, con distinto grado de formación matemática. TRES TAREAS La representación decimal infinito-periódica de un número racional, la comparación de números con distintas notaciones y la comparación de conjuntos numéricos infinitos.

I N T R O D U C Ó Categorización de las respuestas a las tres tareas respondidas por 307 estudiantes. Tarea I.1 Tarea I.2 Tarea I.3 I1.1. Evitan el infinito (notación decimal infinita) I2.1. Evitan el infinito (número periódico) I3.1. Evitan el infinito (comparando conjuntos) I1.2. Finitista no justificada (notación decimal infinita) I2.2.Finitista no justificada (número periódico). I3.2. Los enteros como modelo de inclusión (comparando conjuntos) I1.3. Finitista explicita (notación decimal infinita). I2.3. Finitista - Centrada en la representación externa finita. I3.3. Finitista no justificada (comparando conjuntos) I1.4. Infinito como indefinida (notación decimal infinita). I2.4. Discretitud explicita o redondeo (número periódico). I3.4. Finitista explícita (comparando conjuntos). I1.5. Infinitista. Único infinito I2.5. Infinito potencial (número periódico) I3.5. Infinito como indefinido (comparando conjuntos). I1.6. Infinito Cardinal (notación decimal infinita) I2.6. Infinitista no explicada (número periódico). I3.6. Único infinito (comparando conjuntos) I2.7. Infinito actual (número periódico) I3.7. Infinito cardinal (comparando conjuntos).

I N T R O D U C Ó OBJETIVO Explorar la dinámica de las ideas de los estudiantes sobre algunos aspectos del número real en relación con sus concepciones sobre el infinito durante un proceso de reflexión.

Entrevistas semiestructuradas O D L G Í A INSTRUMENTOS Cuestionario escrito Entrevistas semiestructuradas PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS Se clasificaron las respuestas al cuestionario dada por los estudiantes en base a la categorización de respuestas de los estudiantes de la población más numerosa (307 estudiantes) antes señalada. Se realizó la determinación, en las entrevistas, de los episodios relevantes para este estudio, describiendo, discutiendo y analizando cualitativamente los mismos a fin de observar la evolución de las concepciones y el proceso de comprensión de los estudiantes respecto del infinito. PARTICIPANTES Estudiantes de: Quinto Año de escuelas secundarias Matemática Ingresantes Matemática Avanzados Biología Ingresantes Biología Avanzados

Entrevista a dos estudiantes de primer año de matemática RESULTADOS Y DISCUSIÓN Entrevista a dos estudiantes de primer año de matemática

D: Respuesta al cuestionario 1 D: Respuesta al cuestionario Clasificación de la respuesta: I1.4. Infinito como indefinido.

I1.4. Infinito como indefinido I1.6. Infinito Cardinal E: ¿Dónde hay más tres en 0,333… que en 0,3232…? D: como se trata de infinitos no se los puede calificar como cantidades…no se pueden contar E: Si hay infinitos dudan si se puede comparar ¿no? D: Yo lo que puse fue eso que se puede asignar a cada uno… Y eso indicaría, si se puede hacer una relación biyectiva, indicaría que son la misma cantidad. I1.4. Infinito como indefinido D: Pero como se trata de infinitos no podemos hablar de cantidad, justamente es infinito. Por eso puse no se puede comparar I1.5. Infinitista. Único infinito D: Si me preguntan cuánto hay de los dos, son infinitas D: Si, es difícil de entender el tema del infinito

D: Respuesta al cuestionario 3 D: Respuesta al cuestionario Clasificación de la respuesta: I3.4. Finitista explícito

I3.5. Infinito como indefinido D: yo sigo acá con el tema de abundante… I3.4. Finitista explícito D: yo lo que pensé fue, pensar un número cualquiera, un número totalmente arbitrario, y pensarlo como una sucesión de distintas cifras de números distintos. Y arbitraria la sucesión. Entonces un número se hace capicúa cuando esa sucesión tiene un patrón muy particular, cuando la primera mitad es un espejo de la segunda mitad. Entonces en esta sucesión tan particular se vuelve casi despreciable la posibilidad que un número sea capicúa, si uno hace una sucesión infinita. Entonces esa relación es casi despreciable, imagino yo. … D: hay más probabilidad que salga un no capicúa que un capicúa. D: yo acá lo que puse es que son más los números pares. Porque yo lo que puse es que a cada número primo se le puede asignar un número par. Un número primo p se le asigna 2p entonces esto para todo p primo, ¿no? Ahora yo puedo encontrar otro número par que no sea de esta forma, sino que sea 2 por 2p. Y este sigue siendo par y no está dentro de los primos. Yo me imagino en esta relación.

I3.2. Los enteros como modelo de inclusión D: los enteros se definen como los naturales más los números negativos. Entonces si le resto uno a otro me quedan todos los números negativos. Entonces pensaría que hay más enteros. D : esto es lo mismo que los enteros y los naturales. Yo lo que pensé es que los racionales contienen a los enteros. … yo lo entiendo como un caso específico de los racionales… por eso yo entiendo que es más abundante porque uno contiene a otro.

D: Respuesta al cuestionario 2 D: Respuesta al cuestionario Clasificación de la respuesta: I2.7. Infinito actual

I2.5. Infinito potencial (número periódico) E: Si tenemos el intervalo (1, 2) ¿Puedo encontrar un número que no sea 2 y que sea lo más cercano a 2 posible? ¿Ustedes qué piensan de eso? D: No, no se puede. Acá pide identificar el número. Entonces tiene que ser un número irracional conocido digamos o un racional. Entonces si yo tengo que encontrar el valor más cercano a 2….. E: Que no sea dos ¿no? D: Claro. Pongo dos y uno y encuentro uno en el medio, puede ser 1,9. Y entre 1,9 y 2 encuentro otro. 1,95 digamos. Y así voy infinitamente sigo encontrando otro, sigo encontrando otro. Lo que imaginaría que uno encuentra el 1,9 periódico como el más cercano, pero está demostrado que es 2 es igual a 1,9 periódico. I2.5. Infinito potencial (número periódico) I2.7. Infinito actual E: ¿Y a vos te convence que sea 2? D: Si, vi la demostración. E: ¿Y qué te convenció? ¿La demostración? D: Si, si . Cuando fui a las olimpíadas de Matemáticas y lo demostraron.

M: Respuesta al cuestionario 1 M: Respuesta al cuestionario Clasificación de la respuesta: I1.3. Finitista explícito

I1.3. Finitista explícito I1.6. Infinito Cardinal E: ¿Y por qué hay más tres en 0,333 … que en 0,3232…? M: Porque sabiendo que los dos se repiten infinitamente, yo puedo agarrar cualquier cantidad finita de términos y sé que siempre hay más términos tres en 0,333… que en 0,3232... E: Entonces la manera de saber si hay la misma cantidad es hacer una relación uno a uno ¿no? M: Si, entonces si son infinitos podría establecer una relación uno a uno.

M: Respuesta al cuestionario 3 M: Respuesta al cuestionario Clasificación de la respuesta: I3.4. Finitista explícito

I3.2. Los enteros como modelo de inclusión I3.4. Finitista explícito I3.6. Único infinito E: ¿Cuál es más abundante (capicúas o no capicúas)? M: yo lo pensé así , agarro un capicúa y sé que a ese le puedo sumar o restar uno y siempre va a un no capicúa. Entonces a cada capicúa le ser puedo asignar por lo menos dos no capicúas. Entonces los números no capicúas tienen que ser más E: ¿Y los primos y los pares? M: Podemos decir que tienen la misma cantidad. I3.2. Los enteros como modelo de inclusión I3.7. Infinito cardinal E: ¿Con respecto a los enteros y los naturales? M: yo pienso lo mismo que antes. Los naturales están incluidos en los enteros. M: pero podemos poner el primer número primo con el primer número par, el segundo número primo con el segundo número par, el tercer número primo con el tercer número par y lo podés seguir infinitamente .

M: Respuesta al cuestionario 2 M: Respuesta al cuestionario Clasificación de la respuesta: I2.7. Infinito actual

I2.7. Infinito actual E: ¿Y qué demostración es la que te convenció? M: La demostración más seria sería la de series.

Destacamos a la entrevista como instrumento de relevamiento de información, ya que esta nos permitió percibir el discurso de los participantes sobre los conceptos indagados brindándonos una perspectiva global y dinámica de los mismos, pudiendo ir más allá de una primera visión estática de las concepciones de estos estudiantes, evidenciada en sus respuestas al cuestionario. La entrevista constituyó una instancia de aprendizaje para los participantes, ya que estos aportaron amplias justificaciones mostrando un interés genuino en estas tareas matemáticas. Finalmente resaltar las diferentes concepciones sobre el infinito conviviendo en un mismo estudiante y cambiando activamente durante el proceso de explicitación de las ideas al interior de cada tarea, lo que da cuenta de que la noción de infinito es lábil y de gran complejidad cognitiva. C O N L U S I E

GRACIAS POR SU ATENCIÓN