Desigualdades

Desigualdad Algunos problemas matemáticos se plantean como desigualdades en lugar de ecuaciones. Una desigualdad es una relación entre dos expresiones matemáticas en términos de los símbolos <,>, ≤, ≥. Por ejemplo: Si X y Y pertenecen a los reales se pueden relacionar de la siguiente manera X es mayor que Y X es menor que Y

Resolución de Desigualdades Las desigualdades se resuelven de manera similar a una ecuación. Para resolver una desigualdad debemos determinar el conjunto de valores que satisfacen a la desigualdad, llamado conjunto solución.

Solución de una desigualdad El conjunto solución generalmente es infinito y es un subconjunto de los números reales. La gráfica del conjunto solución es un segmento de la recta numérica llamado intervalo que puede ser cerrado o abierto, según sus extremos estén o no definidos respectivamente.

Propiedades de las desigualdades Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados a < b            ± c  (sumamos o restamos c a ambos lados) a ± c < b ± c  Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número positivo a < b             / • c (c > 0) (c es positivo) a • c < b • c a > b          c (c > 0) ( c es positivo) a / c > b / c

Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número negativo a < b               / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero) a • c > b • c a > b              / • c (c < 0) ( c es negativo, menor que cero) a • c < b • c

Si los dos miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a la misma potencia, la desigualdad no cambia de sentido. Si los dos miembros de una desigualdad son negativos y se elevan a una potencia de grado impar, no cambia el sentido de la desigualdad; pero hay cambio de sentido si el grado de la potencia es par.

Resolución de desigualdades lineales En una desigualdad, como 7x > 49 , el signo > indica que el lado izquierdo es mayor que el lado dereCHO. Para resolver la desigualdad 7x > 49 , seguimos los mismos pasos que para resolver las ecuaciones. Por ejemplo, en una ecuación como 7x = 49 , el signo = indica que las expresiones son equivalentes. En una desigualdad también hay dos expresiones separadas por un símbolo que indica como una  expresión se relaciona con la otrA. SABEMOS QUE UNA DESIGUALDAD ES SIMILAR A UNA ECUACIÓN , DONDE HAY DOS EXPRESIONES SEPARADAS POR UN SÍMBOLO QUE LAS RELACIONA. Resolución de desigualdades lineales Son las más simples de resolver ya que contienen únicamente variables elevadas a la primer potencia por lo que para resolverlas basta con aplicar las reglas antes mencionadas. Ejemplo: Resuelva la desigualdad

La solución dada en notación conjuntos

Resolución gráfica En las desigualdades lineales las expresiones de ambos lados siempre representan rectas, entonces resolver la desigualdad es determinar el punto de intersección de las rectas, y a partir de él, identificar la región en la cual una de las dos rectas es mayor , menor o igual que la otra, según la desigualdad. A partir de tal punto una de las rectas estará sobre o por debajo de la otra y este comportamiento es el que determina la solución

En el ejemplo anterior la recta en rojo representa la recta definida por la expresión del lado izquierdo de la desigualdad y su ecuación es Y = 4x - 8 y la recta azul representa al lado derecho de la desigualdad y su ecuación es y = x – 9, a partir de el punto de intersección indicado por la recta que se muestra en rojo y línea discontinua X = -1/3 , la recta en rojo es evidentemente mayor que la otra como se obtuvo con el método analítico.

Desigualdades cuadráticas Este tipo de desigualdades, como su nombre lo indica, son aquellas en las que alguno de sus miembros o ambos interviene un término cuadrático (exponente dos).

Ejemplo Resuelva la desigualdad

Factorizando

Debe satisfacer a ambas por lo que la intersección en este caso es

Ahora Debe satisfacer las condición por lo que el conjunto intersección es

Se establece el conjunto solución como la unión de estos dos conjuntos dados para las dos condiciones Expresada en términos de intervalos es: En notación de conjuntos

En una gráfica

Método gráfico La solución gráfica se puede determinar identificando a la parábola representada por el lado izquierdo de la desigualdad y encontrar sobre la curva la región que satisface que sea mayor que cero, es decir que pase sobre el eje de las abscisas.

Desigualdades fraccionarias Como su nombre lo indica, este tipo de desigualdades implican el cociente de dos expresiones algebraicas que pueden ser ambas lineales, o una de ellas o las dos cuadráticas.

Ejemplo

Desigualdades con valor absoluto El valor absoluto de un número real es su distancia al cero. Puesto que un número real puede ser positivo, negativo o cero, se tiene:

Propiedades del valor absoluto

Propiedades del valor absoluto