Matrices

DEFINICIONES BÁSICAS Una matriz es un cuadro de números que encerraremos entre corchetes o paréntesis. Diremos que una matriz con m filas y n columnas tiene dimensión mxn filas columnas Matriz de dimensión 2x Matriz 1x5 o vector fila 2 4 Matriz 3x1 o vector columna Matriz 2x2 o matriz cuadrada de orden 2

a 11 a 12 a 13 …….a 1j ……a 1n a 21 a 22 a 23 …….a 2j ……a 2n ….…..….…….….………. a i1 a i2 a i a ij ……a in …. …….…………. a m1 a m2 a m3 …….a mj ……a mn Notación Las matrices se designan con letras mayúsculas. Los elementos de la matriz se designan con la misma letra pero minúscula y con dos subíndices: el primero indica la fila y el segundo la columna A= =(a ij ) Elemento que ocupa la fila 2 y columna 3 Igualdad de matrices: A=B si tienen la misma dimensión y a ij =b ij Algunos tipos particulares de matrices: matriz cuadrada: m=n matriz triangular: los elementos por debajo de la diagonal principal son 0. matriz simétrica: a ij =a ji (tiene que ser cuadrada) matriz traspuesta de A(mxn) A t (nxm) a ij ->a ji Diagonal principal de una matriz son los elementos a ii

Matriz triangular Diagonal principal Matriz simétrica A= Matriz traspuesta At=At= Suma de matrices: A(mxn)+B(mxn)=C(mxn) c ij = a ij + b ij = Producto de un número, t, por una matriz: A(mxn) tA=( ta ij ) A= A=

Propiedades de la suma de matrices: conmutativa: A+B=B+A asociativa (A+B)+C=A+(B+C) matriz nula representada por (0) todos los elementos son 0. Se cumple A+(0)=A matriz opuesta de A=(a ij ), -A=(-a ij ) Se cumple: A+(-A)=(0) A= B= C= Ejemplo: dadas las matrices A, B, C calcula 2A-3B+4C 3 38 A = Ejemplo: dada la matriz, halla X tal que 2A+X=(0)

Propiedades del producto de un número por una matriz: asociativa a·(b·A)=(a·b)·A 1·A=A 0·A=(0) (a+b)·A=a·A+b·A a·(A+B)=a·A+a·B ¡Atención! Es incorrecto:A·5ó A-B = A+3B = 1) Halla las matrices A y B que verifican: 2) Halla las matriz X que cumple la ecuación matricial: -2B-A+2X=3A siendo: A= B= 5/1115/11 120/11 26/1112/ /11 Sol: A= B= Sol: X=

PRODUCTO DE MATRICES. UN EJEMPLO Una empresa de automóviles fabrica dos modelos de coche: Rapid y Fuego en cuatro fábricas diferentes (F1, F2, F3, F4). En la matriz A vemos el número de unidades que se fabricaron en el año 2003 en cada una de las fábricas. Para cada coche Rapid se necesita una cierta cantidad de caucho, plástico y acero mientras que en a fabricación de cada coche Fuego se utilizan otras cantidades de estos mismos materiales. Dichas cantidades, en kilogramos, se describen en la matriz B. Queremos reflejar en una matriz la cantidad de kg de cada material (caucho, plástico y acero) que se consumieron en cada una de las fábricas en el año 2003 RapidFuego F F27550 F F450 cauchoplásticoacero Rapid2205 Fuego3187 Matriz A Matriz B

PRODUCTO DE MATRICES. DEFINICIÓN A · B = C mxp pxn mxn Cada elemento de la matriz producto c ij se obtiene multiplicando la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B y sumando estos productos x x2 (-1)·4+3·(-5)+9·3+5·5(-1)·2+3·6+9·(-1)+5·6 3·4+8·(-5)+0·3+6·53·2+8·6+0·(-1)+6·6 (-2)·4+7·(-5)+4·3+5·5(-2)·2+7·6+4·(-1)+5·6 = 3x = Sólo se puede hacer el producto A·B si el nº de columnas de A es igual al número de filas de B En general: c ij =a i1 ·b 1j +a i2 ·b 2j +…+a ip b pj

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES Asociativa: A·(B·C)=(A·B)·C Distributiva: A·(B+C)=A·B+A·C Existe elemento neutro para el producto de matrices cuadradas que llamaremos matriz identidad I, matriz cuya diagonal principal está formada por 1 y todos los demás elementos son I= Se cumple: A·I=I·A=A para cualquier matriz A Ejemplo: comprueba que A·I=I·A=A siendo A = En general, no se cumple la propiedad conmutativa (ni siquiera para matrices cuadradas) Ejemplo: comprueba que A·BB·A siendo A = B=

Matriz inversa de una matriz cuadrada: Dada una matriz A, llamaremos inversa de A y la designaremos por A -1 a otra matriz de la misma dimensión que cumpla: A· A -1 =A -1 ·A=I No todas las matrices tienen inversa. Si una matriz tiene inversa diremos que es invertible o regular Ejemplo: utilizando la definición, halla A -1 y B A=B= Solución: 1/3 -1/32/3 B no tiene inversa; A -1 = Ayuda: haz xy zt A -1 y plantea un sistema de ecuaciones

Vectores. Rango de un conjunto de vectores. Llamaremos R n al conjunto de todos los vectores columna de n elementos (es decir matrices nx1. Los vectores de R n se llaman también n-tuplas y se representan así: Por ejemplo: Los vectores de R n se pueden sumar entre sí y también podemos multiplicar un número por un vector Ejemplo:

Llamaremos combinación lineal (C.L.) de estos vectores a cualquier otro vector que se pueda expresar de la siguiente forma: Dados los vectores: siendonúmeros es C.L. de:yya que: Diremos que un conjunto de vectores es libre o Linealmente Independiente (L.I.) si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás Diremos que un conjunto de vectores es ligado o Linealmente Dependiente (L.D.) si alguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás Ejemplo: averigua si los siguientes conjuntos son L.I. o L.D.

Llamamos rango de un conjunto de vectores al número máximo de vectores linealmente independientes. Llamamos rango de una matriz al rango del conjunto formado por sus vectores columna. Ejemplo: calcula el rango de los conjuntos anteriores2, 2, 1, 3 Los vectores columna de la matriz A se suelen representar por A 1 ; A 2 ;….A m rang(A)=2 Ejemplo: calcula el rango de las matrices:

Propiedades del rango de una matriz: el rango de los vectores fila coincide con el rango de los vectores columna el rango de una matriz no varía si eliminamos una columna (o fila) que es C.L: de las demás columnas (filas) el rango no varía si multiplicamos una columna (o fila) por un nº distinto de 0 el rango no varía si sumamos a una columna (fila) una C.L. de las demás columnas (filas) Ejemplo: calcula el rango:

Expresión matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales: A · X = B Matriz de coeficientes o matriz del sistema Vector de términos independientes Si la matriz A tiene inversa y sabemos calcularla: A · X = BA -1 ·(A · X) = A -1 B(A -1 A) · X = A -1 BI · X = A -1 BX = A -1 B Ejercicio: comprueba que la matriz inversa de A del ejemplo anterior es A -1 y calcula con esta fórmula la solución del sistema Solución:SCD x=-4, y=6, z=1 Vector de incógnitas (solución)