Polinomios y Fracciones algebraicas UNIDAD 4 Polinomios y Fracciones algebraicas 1. Polinomios 2. Suma de polinomios 3. Resta de polinomios 4. Multiplicación de polinomios 5. División de polinomios. Regla de Ruffini 6. Valor numérico de un polinomio 7. Teorema del resto 8. Raíces de un polinomio 9. Factorización de polinomios 10. Fracciones algebraicas 11. Operaciones con fracciones algebraicas UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

POLINOMIOS 1. Polinomios Un polinomio es una expresión algebraica formada por la suma o resta de dos o más monomios. Grado de un polinomio: mayor de los grados de sus términos. UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

Polinomio completo: A(x) = –x4 + 7x3 + x2 + 5x – 3 POLINOMIOS Polinomio completo: A(x) = –x4 + 7x3 + x2 + 5x – 3 Polinomio incompleto: B(x) = x4 + x2 – 3 Polinomio ordenado: forma creciente: B(x) = –x + x2 + 5x4 – x6 forma decreciente: A(x) = 7x3 + x2 + 5 Polinomio opuesto: de A(x) = 7x3 + x2 - 5 es –A(x) = -7x3 - x2 + 5 UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

POLINOMIOS 2. Suma de polinomios Para sumar polinomios se agrupan los monomios semejantes y se efectúa la operación correspondiente. A (x) = –x4 + 7x3 + x2 – 3 B (x) = – 2x3 – 2x2 – 5x + 6 A (x) + B (x) = (–x4 + 7x3 + x2 – 3) + (–2x3 – 2x2 – 5x + 6) = = –x4 + 5x3 – x2 – 5x + 3 UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

A (x) – B (x) equivale a A (x) + [– B (x)] POLINOMIOS 3. Resta de polinomios Para restar dos polinomios se suma el primero con el opuesto del segundo. A (x) – B (x) equivale a A (x) + [– B (x)] A (x) = –x4 + 7x3 + x2 – 3 B (x) = – 2x3 – 2x2 – 5x + 6 A (x) – B (x) = (–x4 + 7x3 + x2 – 3) + [– (–2x3 – 2x2 – 5x + 6)] = = –x4 + 7x3 + x2 – 3 + 2x3 + 2x2 + 5x – 6 = = –x4 + 9x3 + 3x2 + 5x – 9 UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

4. Multiplicación de polinomios El producto de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene al multiplicar cada uno de los términos del primero por cada uno de los términos del segundo, agrupando y operando términos semejantes. A(x)= –x3 + 3x2 – 4 B(x)= x2 – x + 3 A(x)·B(x) = (–x3 + 3x2 – 4) · (x2 – x + 3) = = –x5 + 3x4 – 4x2 + x4 – 3x3 + 4x –3x3 + 9x2 – 12 = = –x5 + 4x4 – 6x3 + 5x2 + 4x – 12 UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

Identidades notables Cuadrado de una suma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 POLINOMIOS Identidades notables Cuadrado de una suma: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 Cuadrado de una diferencia: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 Suma por diferencia: (a + b) · (a – b) = a2 – b2 (2x3 + 3xy)2 = 4x6 + 12x4y + 9x2y2 (2x + 3az ) · (2x – 3az) = 4x2 – 9a2z2 UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

5. División de polinomios División de monomios División de un polinomio entre un monomio: UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

División de un polinomio entre un polinomio: POLINOMIOS División de un polinomio entre un polinomio: En la división de dos polinomios D(x) y d(x) se verifica que: Dividendo = Divisor·Cociente+Resto  D(x) = d(x) · C(x) + R (x) D(x) d(x) C(x) R(x)

POLINOMIOS Lo primero que debemos hacer para efectuar una división de polinomios es ordenarlos en forma decreciente con respecto a una de las variables, dejando espacios entre los términos si es necesario.

POLINOMIOS

POLINOMIOS Regla de Ruffini La regla de Ruffini es un algoritmo que permite conocer de forma fácil y rápida los coeficientes del polinomio cociente y el resto. Solo puede aplicarse cuando el divisor es un polinomio de la forma x  a. Vamos a hacer la siguiente división por Ruffini: (6x3 − 3x + 4) : (x − 2) Se ordena en forma decreciente el dividendo y se colocan ordenados sus coeficientes. Si en el polinomio dividendo es incompleto, se ponen ceros en los lugares de los términos que faltan. Debajo, y desplazado a la izquierda, se coloca el término independiente del divisor cambiado de signo. UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

POLINOMIOS 2) El primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo; por eso el número 6 se baja simplemente. (6x3 − 3x + 4) : (x − 2) 3) El segundo coeficiente del cociente se obtiene según indica el esquema: UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

Otra división: (2x4 – 9x2 + 24x – 1) : (x + 3) POLINOMIOS Como el grado del cociente es una unidad menor que el grado del dividendo, resulta que el cociente es el polinomio: y el resto es R = 46. C(x) = 6x2 + 12x + 21 Otra división: (2x4 – 9x2 + 24x – 1) : (x + 3) UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

6. Valor numérico de un polinomio. POLINOMIOS 6. Valor numérico de un polinomio. El valor numérico de un polinomio es el resultado que se obtiene al sustituir las variables por números y operar. El valor numérico del polinomio A (x) = 13x5 + 8x2 – 3 para x = 2 es: A (2) = 13 · 25 + 8 · 22 – 3 = 13 · 32 + 8 · 4 – 3 = = 416 + 32 – 3 = 445 UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

7. Teorema del resto P(a) = R POLINOMIOS 7. Teorema del resto Al dividir un polinomio cualquiera P(x) entre x−a, siendo a un número real, el resto de dicha división coincide con el valor numérico del polinomio P(x) para x=a. P(a) = R En una división anterior: (6x3 − 3x + 4) : (x − 2) teníamos que R = 46 Valor numérico P(2) = 6·23 − 3·2 + 4 = 48 – 6 + 4 = 46 es decir, P(2) = R UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

8. Divisibilidad de polinomios. Raíces Si entre tres polinomios cualesquiera se verifica que A(x) = B(x) ⋅ C(x ) diremos que: El polinomio A(x) es múltiplo de B(x) y C(x). También se dice que A(x) es divisible por cada uno de los polinomios B(x) y C(x). Los polinomios B(x) y C(x) son divisores del polinomio A(x). Criterio de divisibilidad de un polinomio por x-a : Teorema del factor Un polinomio P(x) es divisible por x-a si y sólo si P(a) = 0.

a es RAÍZ de P(x) si P(a) = 0. POLINOMIOS Raíces de un polinomio Las raíces de un polinomio P(x) son aquellos valores de x para los cuales el valor numérico del polinomio es 0 es decir, a es RAÍZ de P(x) si P(a) = 0. x = –3 es una raíz del polinomio P (x) = x2 – x – 12, porque P(–3) = 0. El teorema del factor establece que un polinomio tiene como factor x – a si el valor numérico de ese polinomio para x = a es 0. Un factor del polinomio P (x) = x2  x – 12 es x + 3 porque P(3) = 0. UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

P (x) = a (x – x1) · (x – x2) · (x – x3) · … · (x – xn) POLINOMIOS 9. Factorización de polinomios La descomposición factorial o factorización de un polinomio es la expresión de ese polinomio como producto de monomios o de polinomios de grado menor e irreducibles. Un polinomio de grado n con coeficiente principal a y con raíces x1, x2, x3, x4,... xn, tiene la siguiente factorización: P (x) = a (x – x1) · (x – x2) · (x – x3) · … · (x – xn) Por ejemplo x2 + 8x – 9 = (x – 1)·(x + 9) UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

Técnica para factorizar un polinomio POLINOMIOS Técnica para factorizar un polinomio Sacar factor común Buscar identidades notables Buscar factores de la forma x – a, utilizando la regla de Ruffini, hasta llegar a un polinomio de segundo grado, donde resolveremos la ecuación de segundo grado. Los valores de a serán divisors del término independiente del polinomio. UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

Factorizar P(x) = 3x5 + 5x4 - 5x3 - 5x2 + 2x Factor común x POLINOMIOS Ejemplo Factorizar P(x) = 3x5 + 5x4 - 5x3 - 5x2 + 2x Factor común x P(x) = x·(3x4 + 5x3 - 5x2 - 5x + 2) Buscar identidades notables No hai Buscar factores de la forma x – a 3 5 -5 -5 2 a = 1, -1, 2, -2 ?? 1 3 8 3 -2 3 8 3 -2 0 P(x) = x·(x-1)·(3x3 + 8x2 + 3x – 2) UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

P(x) = x·(x-1)·(x+1)·(3x2 + 5x – 2) POLINOMIOS 3 8 3 -2 -1 -3 -5 2 3 5 -2 0 P(x) = x·(x-1)·(x+1)·(3x2 + 5x – 2) Resolvemos la ecuación de 2º grado 3x2 + 5x – 2=0 y obtenemos como soluciones x=-2 y x=1/3. Así, P(x) = x·(x-1)·(x+1)·(x+ 2)·(x-1/3) Raíces: 0, 1, -1, 2, 1/3 UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

10. Fracciones algebraicas POLINOMIOS 10. Fracciones algebraicas Se llama fracción algebraica al cociente indicado de dos polinomios. Ejemplos: Dos fracciones algebraicas son equivalentes si toman el mismo valor numérico para todos aquellos valores que no anulan el denominador. Ejemplo: 𝒙+𝟏 𝒙 𝐲 𝒙 𝟐 −𝟏 𝒙 𝟐 −𝒙 UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

Simplificación de fracciones algebraicas POLINOMIOS Simplificación de fracciones algebraicas Para simplificar fracciones algebraicas se hace la descomposición factorial de los polinomios y se simplifican todos los factores comunes. Ejemplos: UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

11. Operaciones con fracciones algebraicas POLINOMIOS 11. Operaciones con fracciones algebraicas Suma y resta Para sumar o restar fracciones algebraicas hay que reducirlas a común denominador y sumar o restar los numeradores de las fracciones resultantes. UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

POLINOMIOS Multiplicación Para multiplicar fracciones algebraicas se multiplican los numeradores y los denominadores. (x – 2) · (x + 2) (x – 3) · (x – 3) UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

POLINOMIOS División Para dividir dos fracciones algebraicas multiplicamos la primera fracción por la inversa de la segunda. (x – 3) · (x – 3) (x – 2) · (x + 2) UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO

POLINOMIOS Potencia Para elevar una fracción a una potencia se elevan el numerador y el denominador a esa potencia. UNIDAD 4 | MATEMÁTICAS 4º ESO