MATEMÁTICAS 1 TAREA 2 MIGUEL ÁNGEL RODRÍGUEZ GUTIÉRREZ

PROCESAMIENTO ELEMENTAL DE DATOS FUNCIONES,  PROCESAMIENTO ELEMENTAL DE DATOS

Funciones lineales

Una función lineal o también llamada función de grado 1 es aquella cuya expresión algebraica es del tipo y  = mx+b , siendo m un número cualquiera distinto de 0. *Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen, (0,0). *El número m se llama pendiente. *La función es creciente si m > 0 y decreciente si m < 0.

y  = mx + b m=representa la pendiente (inclinación). b= representa la intersección con y. Al graficar siempre será un recta

Composición de funciones

Dadas dos funciones reales de variable real, f y g, se llama composición de las funciones f y g, y se escribe g o f, a la función definida de R en R, por (g o f )(x) = g[f(x)].  

Propiedades de la composición de funciones 1 Propiedades de la composición de funciones 1. Asociativa: f o (g o h) = (f o g) o h 2. No es conmutativa. f o g ≠ g o f 3. El elemento neutro es la función identidad, i(x) = x. f o i = i o f = f

Ejemplos:

Funciones inversas

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función f−1 que cumple que: Si f(a) = b, entonces f−1(b) = a.

Cálculo de la función inversa 1) Se intercambian la x y la y en la expresión inicial:  y=f(x)  x=f(y) 2) Se despeja la y en la nueva expresión  x = f(y)  y=f -1(x)

EJEMPLO: y=2x Cambiamos la x por la y, nos queda entonces x=2y 2) Despejamos la y, nos queda entonces  Por tanto la función inversa de y=2x es 

Hallar la función inversa de y = 5x - 2, y representar las gráficas de ambas funciones en el mismo sistema de ejes.   Resolución:   · Se intercambian ambas variables:  

Funciones potencia, exponencial y logarítmica

La Función potencia, son todas aquellas funciones que son de la forma; Donde a y n son  números reales distintos de 0.  La Función potencia está definida para los números reales

Grafica de las funciones potenciales Cuando el exponente es par positivo. Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número par positivo, la gráfica será una curva simétrica con respecto al eje y. Si a < 0, la curva estará abierta hacia abajo.  Si a > 0, la curva estará abierta hacia arriba

Cuando el exponente es impar positivo. Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número impar positivo, la gráfica será una curva simétrica con respecto al origen. Pero cuando a > 0, la gráfica se encuentra en el primer y tercer cuadrante, y la función siempre es creciente. Pero cuando a < 0, la gráfica se encuentra en el segundo y cuarto cuadrante, y la función siempre es decreciente.

Cuando el exponente es par negativo. Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número par negativo, la función tiene dos asíntotas, que son los ejes x e y. Para todos los valores negativos de x, la función decrece, y para todos los valores positivos de x, la función es creciente. Si a > 0, las curvas irán hacia arriba, la gráfica estará en el primer y segundo cuadrante. El recorrido son todos los números reales positivos.

Cuando el exponente es impar negativo. Si el exponente n de la función f(x) = axn es un número impar negativo, la función tiene dos asíntotas, que son los ejes x e y Pero, si a < 0, la gráfica estará en el segundo y cuarto cuadrante. La función es creciente. Si a > 0, la gráfica estará en el primer y tercer cuadrante. La función es decreciente.

Las características generales de las funciones exponenciales son: Las funciones exponenciales son las funciones que tienen la variable independiente   x   en el exponente, es decir, son de la forma: Las características generales de las funciones exponenciales son: 1) El dominio de una función exponencial es R. 2) Su recorrido es   (0, +∞) . 3) Son funciones continuas.

4) Como   a0 = 1 , la función siempre pasa por el punto   (0, 1). La función corta el eje Y en el punto   (0, 1)   y no corta el eje X. 5) Como   a1 = a , la función siempre pasa por el punto   (1, a). 6) Si   a > 1   la función es creciente.     Si   0 < a < 1   la función es decreciente. 7) Son siempre cóncavas.

Las funciones logarítmicas son funciones del tipo:                                                                               Es la inversa de la función exponencial   f(x) = ax Las características generales de las funciones logarítmicas son: 1) El dominio de una función logarítmica son los números reales positivos: Dom(f) = (0. + ∞) . 2) Su recorrido es R: Im(f) = R . 3) Son funciones continuas.

4) Como   loga1 = 0 , la función siempre pasa por el punto   (1, 0) . La función corta el eje X en el punto   (1, 0)   y no corta el eje Y. 5) Como   logaa = 1 , la función siempre pasa por el punto   (a, 1) . 6) Si   a > 1   la función es creciente.     Si   0 < a < 1   la función es decreciente.

(seno, coseno y tangente) Funciones periódicas (seno, coseno y tangente)

*Las funciones trigonométricas son periódicas. *Significa esto que todos los valores de la función se pueden obtener a partir de los de un intervalo sumando una constante, que se llama el periodo de la función. *Resulta así que el periodo de las funciones seno y coseno es de 2pi y el de la función tangente es de pi.

Coordenadas polares

*Un sistema de coordenadas bidimensional también es conocido como sistema de coordenadas polares. *En tales sistemas de coordenadas, cada uno de los puntos situados sobre un plano particular se determina con respecto a un ángulo de dirección fija y a una distancia fija del punto. 

*El punto fijo se conoce como Polo y un rayo en una dirección particular que se origine del polo se conoce como eje polar. * La distancia fija se conoce como radio o coordenada radial y el ángulo de dirección fija se conoce como ángulo polar o coordenada angular.