Vibraciones en sistemas físicos Autor: Tadeusz Majewski

Método de elemento finito Capítulo 9 Método de elemento finito

TEMARIO Introducción Elemento tipo barra Elemento viga Resumen

Objetivos del capítulo 9 Presentar el método de elemento finito y sus aplicaciones para estructuras vibratorias. Se muestran los elementos finitos que se usan para discretizar una estructura y las ecuaciones que definen las vibraciones de estos elementos. Presentar los modos de vibración para algunas estructuras que se modelan mediante el uso de software de CAD.

I. Introducción El método de elemento finito (MEF) es un método numérico que se utiliza para analizar estructuras con una geometría muy compleja. El MEF permite obtener una solución numérica aproximada para una estructura continua dividiéndola en un número grande de subdominios que no se intersecan entre sí, denominados elementos finitos. A cada vértice de cada elemento se le asigna un punto llamado nodo. Generalmente, un nodo asignado a un elemento finito es común a varios elementos. Al conjunto de nodos, considerando sus relaciones de adyacencia, se le llama malla.

I. Introducción Comúnmente, la malla se genera con programas especiales. La deformación entre los nodos de un elemento se aproxima por medio de una función arbitraria que se llama función de forma. Las vibraciones se calculan de manera similar a como se calculan para un sistema con muchos grados de libertad. El método de los elementos finitos permite calcular desplazamientos, esfuerzos, modos de vibraciones y frecuencias.

I. Introducción La ecuación de movimiento de un elemento finito se obtiene a partir de la ecuación de Lagrange como: donde f (t) es el vector de excitación del elemento en sus nodos. Una vez obtenidas las matrices para todos los elementos (barra, viga, placa, elemento sólido, etc.), se definen las matrices globales así como la ecuación matricial final, que se resuelve numéricamente.

II. Elemento tipo barra

II. Elemento tipo barra Un elemento tipo barra se comprime o se estira en una sola dirección. La determinación de las vibraciones longitudinales es un problema unidireccional. Un elemento tipo barra se define mediante dos nodos cuyos desplazamientos son u1(x, t) y u2(x, t).

II. Elemento tipo barra Las fuerzas en los nodos son f1(t) y f2(t). El desplazamiento dentro del elemento varía linealmente según la siguiente ecuación: u(x, t) = (1 − x/l)u1(t) + (x/l)u2(t) = N1(x)u1(t) + N2(x)u2(t) donde N1(x) = 1 − x/l, N2(x) = x/l son funciones de deformación. La función u(x, t) se define en función del sistema de coordenadas locales del elemento.

II. Elemento tipo barra La ecuación de movimiento se obtiene aplicando la segunda ley de Newton al elemento tipo barra analizado: Esta ecuación diferencial tiene una solución de forma armónica que al substituirse en dicha ecuación, conlleva a la siguiente ecuación:

II. Elemento tipo barra Las frecuencias naturales del elemento analizado se calculan por medio del determinante:

III. Elemento viga

III. Elemento viga El elemento viga tiene dos desplazamientos transversales, dos angulares y la carga f(x, t) perpendicular al eje del elemento. Los desplazamientos de ambos extremos y sus ángulos se definen como sigue: w1(t) y w2(t) son el desplazamiento y el ángulo de rotación de la primera sección, mientras que w3(t) y w4(t) son el desplazamiento y el ángulo de rotación de la segunda sección.

III. Elemento viga La carga distribuida f(x, t) se sustituye por las fuerzas f1(t), f3(t) y los momentos f2(t), f4(t) en los nodos 1 y 2 El elemento tiene cuatro grados de libertad y cada nodo tiene dos grados de libertad. Para el análisis del elemento viga y para obtener sus frecuencias naturales, se sigue el mismo procedimiento que para el elemento tipo barra.

IV. Resumen En el método de elemento finito, un objeto o prototipo se fragmenta o discretiza en un gran número de elementos geométricos que deben ser tan regulares como sea posible. El comportamiento de cada pequeño elemento se modela con ecuaciones matemáticas. La computadora suma los comportamientos individuales para pronosticar el comportamiento del objeto o prototipo.

IV. Resumen Inicialmente, se definen la geometría de la pieza, las propiedades del material y los tipos de elementos que se van a usar. La discretización de la estructura se hace a mano o un programa puede hacerlo automáticamente. En la programación algorítmica modular, la modelación mediante un programa MEF se divide en: preproceso, cálculo y postproceso.

Preproceso El objeto (que es un medio continuo) se divide en un número de elementos finitos mediante líneas o superficies imaginarias. Habitualmente, esto se logra mediante algoritmos incorporados a programas informáticos de discretización. Los elementos se conectan entre sí mediante un número discreto de puntos o "nodos", situados en sus extremos. Además de la generación de la malla, se definen las condiciones de contorno, las propiedades del material, la carga dinámica y otras propiedades. Los desplazamientos de los nodos son las incógnitas fundamentales del problema.

Cálculo Se determina un sistema de fuerzas aplicadas en los nodos que equilibre las tensiones en los extremos, incluyendo cargas distribuidas, obteniéndose una relación entre fuerzas, fuerzas inerciales y desplazamientos y que permita generar un conjunto de N ecuaciones con N incógnitas, que se resuelve con algún algoritmo para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales: donde [K], [M], {F} son las matrices de rigidez, masa y fuerza La solución de este sistema permite obtener los desplazamientos en los nodos y con ellos definir con exactitud el campo de desplazamientos en el elemento finito.

Postproceso El cálculo proporciona valores de ciertas funciones en los nodos de la malla de discretización. En el postproceso se calculan magnitudes derivadas de los valores obtenidos para los nodos, y también se aplican operaciones de suavizado, interpolación e incluso determinación de errores de aproximación. En la etapa de postproceso se presentan los resultados, generalmente en forma gráfica para su análisis.