Vibraciones en sistemas físicos

Presentación del tema: "Vibraciones en sistemas físicos"— Transcripción de la presentación:

1 Vibraciones en sistemas físicos
Autor: Tadeusz Majewski

2 Sistemas con dos grados de libertad
Capítulo 5 Sistemas con dos grados de libertad

3 TEMARIO Introducción Vibraciones libres sin amortiguamiento
Vibraciones forzadas no amortiguadas Absorbedor dinámico de vibraciones. Amortiguador de vibraciones de Frahm V. Vibraciones libres del sistema con amortiguamiento VI. Excitación armónica del sistema con amortiguamiento VII. Sistemas semi-definidos VIII. Vibraciones de un coche IX. Ejemplos

4 Objetivos del Capítulo 5
Se mostrarán los sistemas con dos grados de libertad, que son el siguiente paso en el análisis de las vibraciones. Estos sistemas tienen dos coordenadas independientes que definen su posición instantánea. Se establecerán las ecuaciones de movimiento, las frecuencias naturales y se calcularán las amplitudes de vibración.

5 I. Introducción Existen muchos sistemas mecánicos que pueden aproximarse mediante un sistema con dos grados de libertad. Su posición se define por dos coordenadas independientes y el comportamiento del sistema se describe con dos ecuaciones diferenciales. Si los elementos elásticos y los amortiguadores son lineales, se obtiene finalmente un sistema de ecuaciones diferenciales lineales simultáneas. El análisis de sistemas con dos o más grados de libertad es más complicado que el de sistemas con un grado de libertad y su análisis requiere más tiempo. Para obtener las ecuaciones de movimiento, se pueden usar la segunda ley de Newton o métodos energéticos basados en las ecuaciones de Lagrange.

6 I. Introducción Considérese un sistema simple que consiste de dos masas conectadas por resortes y amortiguadores. Las vibraciones son generadas por las excitaciones F1(t), F2(t). La posición de cada masa se define por sus desplazamientos x1(t), x2(t) con respecto a la posición de equilibrio.

7 I. Introducción

8 I. Introducción Las ecuaciones de movimiento del sistema se pueden definir con el principio de Newton o con las ecuaciones de Lagrange. Las fuerzas que generan los resortes y los amortiguadores son:

9 I. Introducción Aplicando la segunda ley de Newton a la masa m1 se obtiene: y finalmente:

10 I. Introducción Aplicando la segunda ley de Newton a la masa m2 se obtiene: y finalmente:

11 I. Introducción Las mismas ecuaciones se pueden obtener también con las ecuaciones de Lagrange como sigue: Las energías cinética y potencial del sistema son: Existen cuatro fuerzas no conservativas F1(t),F2(t), F4, F6. Su trabajo virtual es:

12 I. Introducción A partir de esta ecuación se definen las fuerzas generalizadas:

13 I. Introducción Deberán obtenerse las mismas ecuaciones de movimiento por los dos métodos. Las ecuaciones diferenciales están acopladas por sus primeras derivadas y por las coordenadas x1, x2. Esto significa que el movimiento de la masa m1 depende del movimiento de la masa m2 y viceversa.

14 I. Introducción Las ecuaciones de movimiento se pueden escribir en forma matricial, especialmente para los sistemas con más de dos grados de libertad: donde m, c, k son las matrices de inercia, amortiguamiento y rigidez del sistema y q, Q(t) son los vectores de coordenadas y de excitación.

15 II. Vibraciones libres sin amortiguamiento
Inicialmente, se analiza el sistema sin amortiguamiento ni excitación, por lo que c1 = c2 = 0, F1(t) = F2(t) =0 Las ecuaciones de movimiento adoptan la forma

16 II. Vibraciones libres sin amortiguamiento
Suponemos que estas ecuaciones lineales tienen una solución armónica: Substituyendo esta solución en las ecuaciones de movimiento se obtiene:

17 II. Vibraciones libres sin amortiguamiento
Estas relaciones se tienen que cumplir para cualquier tiempo, esto significa que Por lo que las ecuaciones anteriores se simplifican como sigue: El cual es un sistema de dos ecuaciones algebraicas con tres incógnitas A1, A2, ω El determinante de este sistema de dos ecuaciones simultáneas debe ser igual a cero y se obtiene una ecuación que contiene a la frecuencia natural ω como incógnita: Esta ecuación se llama ecuación de frecuencia porque define las frecuencias naturales del sistema y se puede presentar de otra forma:

18 II. Vibraciones libres sin amortiguamiento
donde Las raíces positivas de esta ecuación son: Correspondiendo a estas dos frecuencias, dos soluciones particulares: Las vibraciones x11, x21 con frecuencia ω1 se llaman de primer modo y aquellas x12, x22 con frecuencia ω2 se llaman de segundo modo de vibración.

19 II. Vibraciones libres sin amortiguamiento
Las amplitudes del segundo cuerpo dependen de las amplitudes del primer cuerpo. Las soluciones generales son la suma de las soluciones particulares Las constantes A11, A12, ψ1, ψ2 se determinan a partir de las condiciones iniciales: x1(0), x2(0), (0), (0). Para cualquier condición inicial cada cuerpo tiene dos modos de vibración con frecuencias ω1, ω2. Es posible seleccionar las condiciones iniciales de tal manera que los cuerpos puedan vibrar sólo con el primer o segundo modo. A veces se considera que las amplitudes A11 = A12 = 1 y entonces A21 = r1 y A22 = r2 (modos normalizados).

20 III. Vibraciones forzadas no amortiguadas
Si en la figura que representa al sistema (diapositiva 7) se considera una fuerza armónica F(t) = F0cosΩt (F0 es la amplitud de excitación, Ω es la frecuencia de excitación) aplicada a la masa m1 y sin amortiguamiento, las ecuaciones de movimiento de las dispositivas 9 y 10 adoptan la forma:

21 III. Vibraciones forzadas no amortiguadas
Las soluciones generales son una combinación de las soluciones para las ecuaciones homogéneas (vibraciones libres) y las soluciones particulares de las ecuaciones no homogéneas. Un sistema real tiene amortiguamiento y las vibraciones libres desaparecen después de un cierto tiempo: x1libre = 0, x2libre = 0. Después de algún tiempo quedan solo las vibraciones excitadas, es decir, las vibraciones en estado estable: x1 = x1p; x2 = x2p. Las soluciones particulares se determinan de la misma forma que la excitación. Para la excitación armónica las soluciones también son armónicas tales como: x1= a1cosΩt, x2 = a2cosΩt, siendo las amplitudes a1 y a2 desconocidas. Al sustituir estos últimos valores en las ecuaciones de movimiento, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

22 III. Vibraciones forzadas no amortiguadas
Las soluciones de este sistema de ecuaciones son: Los valores de las amplitudes dependen de la amplitud de excitación F0 y también de la frecuencia de excitación Ω. Cuando ésta está cerca de las frecuencias naturales ω1 u ω2, entonces las amplitudes toman valores muy grandes independientes del valor de la fuerza F0. Existen dos resonancias para Ω = ω1 u Ω= ω2 La fuerza transmitida a través del resorte k1 es F1 = k1x2 = −F0senΩt. Esto significa que el movimiento de la masa m2 está 180° fuera de fase con respecto a la fuerza de excitación y la fuerza de deformación del resorte es igual y opuesta a la fuerza de excitación.

23 IV. Absorbedor dinámico de vibraciones Amortiguador de vibraciones de Frahm

24 IV. Absorbedor dinámico de vibraciones Amortiguador de vibraciones de Frahm
Frahm utilizó las propiedades del sistema con dos grados de libertad para minimizar las vibraciones de una máquina. Para una frecuencia de excitación Ωz, un cuerpo en el sistema no vibra. Se aplica una masa adicional a la máquina principal para cancelar la fuerza de excitación. La figura anterior ilustra un ejemplo de absorbedor para vibraciones de translación. El objeto principal es excitado por la fuerza armónica F(t) = F0cosΩt. El objeto adicional tiene la masa m y el resorte k. Estos dos parámetros se seleccionan de tal manera que la frecuencia natural del subsistema es ω0 = √k/m = Ω.

25 IV. Absorbedor dinámico de vibraciones Amortiguador de vibraciones de Frahm

26 IV. Absorbedor dinámico de vibraciones Amortiguador de vibraciones de Frahm
Una aplicación interesante se muestra en una cortadora del pelo, que se muestra en la figura anterior. Se alimenta una corriente alterna al imán, y éste genera una fuerza alterna de doble frecuencia, la lengüeta b de la cortadora d vibra con esta frecuencia y también vibra el mango. Para disminuir las vibraciones del mango se aplica el absorbedor f con su frecuencia propia igual a la frecuencia de excitación. El absorbedor f vibra en fase opuesta a la cortadora d y compensa la fuerza dinámica.

27 V. Vibraciones libres de un sistema con amortiguamiento

28 V. Vibraciones libres de un sistema con amortiguamiento
Las fuerzas que actúan sobre el sistema son: Aplicando la segunda ley de Newton, obtenemos las siguientes ecuaciones: Para la masa m1: Para la masa m2:

29 V. Vibraciones libres de un sistema con amortiguamiento
La solución de las dos ecuaciones anteriores tiene la siguiente forma: donde X1, X2 son constantes dependientes de las condiciones iniciales y s es una constante que puede adoptar valores reales negativos o valores complejos. Calculando la primera y segunda derivadas y sustituyendo en las ecuaciones de la diapositiva anterior, se encuentran las ecuaciones: Del determinante característico igualado a cero de este sistema de ecuaciones se obtiene una ecuación para calcular el exponente s:

30 V. Vibraciones libres de un sistema con amortiguamiento
La solución general de la ecuación anterior toma la forma: Las constantes X21, X22, X23, X24 dependen de las constantes X11, X12, X13, X14 de manera similar al sistema sin amortiguamiento. Los números imaginarios se pueden eliminar y las vibraciones toman la forma

31 VI. Excitación armónica del sistema con amortiguamiento
La fuerza aplicada a la masa 1 en la figura de la diapositiva 7 cambia al modo armónico: F1(t) = F0senΩt. Las soluciones x1(t), x2(t) obtenidas son: x1 = a1ssenΩt + a1ccosΩt; x2 = a2ssenΩt + a2ccosΩt con incógnitas a1s, a1c, a2s, a2c, las que se calculan a partir del siguiente sistema de ecuaciones:

32 VI. Excitación armónica del sistema con amortiguamiento
Las amplitudes componentes se pueden calcular con los determinantes a1s = D1/Dh, a1c = D2/Dh, a2s = D3/Dh, a2c = D4/Dh

33 VII. Sistemas semi-definidos

34 VII. Sistemas semi-definidos
También se les se conoce como sistemas no restringidos o degenerativos. Algunos sistemas con vibraciones también tienen coordenadas que aumentan con respecto al tiempo; por ejemplo, la translación o rotación del sistema. En la figura anterior se muestran cuatro ejemplos. El primer ejemplo muestra dos coches acoplados por un resorte. Aquí el movimiento se compone de la translación y la vibración entre los coches. La ecuación característica da una frecuencia nula.

35 VII. Sistemas semi-definidos
Las ecuaciones del movimiento para un sistema semi-definido toman la forma: La ecuación característica es: Reordenando: Las frecuencias son: Para la frecuencia ω1 = 0 los dos coches se mueven en manera rectilínea y ω2 representa la frecuencia de vibraciones entre ellos.

36 VIII. Vibraciones de un coche

37 VIII. Vibraciones de un coche
El automóvil es un sistema mecánico complejo con más de un grado de libertad. Sin embargo es útil analizar aquí el modelo más simple con dos grados de libertad. Se supone que el carro se mueve en plano vertical y que el movimiento consiste de: (a) movimiento vertical del cuerpo del carro, (b) movimiento rotacional del cuerpo alrededor del centro de masa C Usando las coordenadas x(t) y (t) para describir el movimiento, y considerando pequeñas oscilaciones, se pueden establecer las ecuaciones del movimiento del coche que se desplaza a la velocidad constante v a lo largo de una pista ondulada. La rugosidad de la pista se define como z(t) = z0sen(2πνt/λ).

38 VIII. Vibraciones de un coche
Los desplazamientos verticales de las llantas son: z1 = zosenΩt, z2 = zosen(Ωt − θ) donde Ω = 2πν/λ, θ = (l1 + l2)/λ Las energías cinética y potencial del coche son: Las fuerzas no conservativas de los amortiguadores son: El trabajo virtual de las fuerzas no conservativas es:

39 VIII. Vibraciones de un coche
Las fuerzas generalizadas de resistencia para las coordenadas x y α son: Las soluciones obtenidas son de la forma: x(t) = a1ssenΩt + a1ccosΩt; α(t) = a2ssenΩt + a2ccosΩt

40 VIII. Vibraciones de un coche
con incógnitas a1s, a1c, a2s, a2c Substituyendo las soluciones obtenidas en las ecuaciones diferenciales de Lagrange se obtienen cuatro ecuaciones algebraicas con cuatro incógnitas : B11a1s + B12a1c + B13a2s + B14a2c = Q1s B21a1s + B22a1c + B23a2s + B24a2c = Q1c B31a1s + B32a1c + B33a2s + B34a2c = Q2s B41a1s + B42a1c + B43a2s + B44a2c = Q2c Los coeficientes correspondientes son: B11 = B22 = k1+k2−mΩexp(2), B33 = B44 = k1l1exp(2) + k2l2 exp(2)−Iωexp(2), B12 = −B21 = −(c1+c2)Ω

41 VIII. Vibraciones de un coche
B13 = B24 = B31 = B42 = k1l1 −k2l2, B14 = −B23 = B32 = −B41 = −(c1l1 −c2l2)Ω B34 = −B43 = −(c1l1exp(2) + c2l2exp(2))Ω Q1s = (k1 + k2cosθ + c2Ωsenθ)zo, Q1c = (−k2senθ + c1Ω + c2Ωcosθ)zo Las amplitudes de las vibraciones se calculan como: Cuando la velocidad del coche cambia entonces las amplitudes también cambian.

42 IX. Ejemplos Ejemplo 5.1

43 IX. Ejemplos Ejemplo 5.1 Calcular la frecuencia natural y la amplitud de vibración cuando el disco se mueve de tal forma que no patina. El centro de masa se desplaza y el disco gira simultáneamente. El punto del disco que hace contacto con la pista tiene velocidad cero. Parámetros del sistema:

44 k1 = k2 = k = 1000 N/m; Ω = 20 rad/s; F0 = 10 N
IX. Ejemplos Ejemplo 5.1 m1 = m2 = m = 3kg; r = 0.2m; l = 0.3m k1 = k2 = k = 1000 N/m; Ω = 20 rad/s; F0 = 10 N fuerza F(t) = F0senΩt coordenadas y velocidades generalizadas; velocidad angular del disco: momentos de inercia de masa del disco y de la barra: La energía cinética es: La energía potencial es: El trabajo virtual de la fuerza F(t) es: Adicionalmente: Aplicando las ecuaciones de Lagrange: De las ecuaciones de Lagrange se obtienen las siguientes ecuaciones:

45 IX. Ejemplos Ejemplo 5.1 Que queda: Y Siguiendo el mismo procedimiento que en ejemplos anteriores, las frecuencias naturales del sistema son: ω1 = rad/s y ω2 = rad/s y la amplitud de vibración es: Ωz = rad/s