2. CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Introducción Límites y Continuidad Diferenciabilidad Derivadas parciales Diferencial de una función Diferencial de la función compuesta Derivadas direccionales y gradiente Aplicaciones de la derivación Función implícita e inversa Extremos de funciones

INTRODUCCIÓN: Función Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto. Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X.  La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes.  Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y valores  que toma Y constituye su recorrido." Dirichlet (1805-1859) Función real de variable real (Matemáticas I) Dominio de la función Imagen de la función Gráfica Límite Continuidad Derivabilidad … Leibniz acuñó el término «función» en el siglo XVII.

Función real de varias variables reales. (Matemáticas II) p-tupla

Campos escalares «En matemáticas y física, un campo escalar representa la distribución espacial de una magnitud escalar, asociando un valor a cada punto del espacio. En matemáticas, el valor es un número; en física, una magnitud física. Los campos escalares se usan en física, por ejemplo, para indicar la distribución de la temperatura o la presión de un gas en el espacio.» (Wikipedia) Click para video

Función vectorial de varias variables reales. «En matemáticas, un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclidiano. Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.» (Wikipedia)

Función real de varias variables reales. Dominio e Imagen

Función real de varias variables reales. Operaciones

Función real de varias variables reales. Operaciones

Función real de varias variables reales. Expresiones

Forma paramétrica:                 𝑥=𝑥(𝜃)=cos𝜃  𝑦 =𝑦(𝜃)  =sin𝜃         𝜃∈[0,2𝜋)

Sea , se define la gráfica de la función Función real de varias variables reales. Gráfica de una función Sea , se define la gráfica de la función como el subconjunto de dado por:

Función real de varias variables reales Función real de varias variables reales. Ejemplos de gráficas de una función

Cálculo diferencial en funciones de varias variables INTRODUCCIÓN Función real de varias variables reales. Ejemplos de gráficas de una función

Función real de varias variables reales. Identificación de la gráfica de una función Paraboloide elíptico

Antenas parabólicas del radiotelescopio "Very Large Array" en Nuevo México,EE.UU.

Paraboloide hiperbólico (silla de montar)

Función real de varias variables reales Función real de varias variables reales. Conjuntos de nivel de una función

La separación entre curvas de nivel nos desvela la velocidad de crecimiento o decrecimiento de la función.

En cartografía, las curvas de nivel unen los puntos de un mapa que se encuentran a la misma altura (cota). Cuando representan los puntos de igual profundidad en el océano y en el mar, así como en lagos de grandes dimensiones, se denominan isóbatas En meteorología, las curvas de nivel se suelen usar para unir puntos que tienen la misma presión (isobaras). En electromagnetismo, las curvas o superficies de nivel pueden representar conjuntos que tienen un mismo potencial (equipotenciales).

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Repetición/recordatorio:

CÁLCULO DIFERENCIAL EN FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Introducción Límites y Continuidad Diferenciabilidad Derivadas parciales Diferencial de una función Diferencial de la función compuesta Derivadas direccionales y gradiente Aplicaciones de la derivación Función implícita e inversa Extremos de funciones

Función real de variable real. (Matemáticas I)

Función real de variable real. (Matemáticas I)

Función real de variable real. (Matemáticas I)

Función real de variable real. (Matemáticas I)

Función real de variable real. (Matemáticas I)

Límites y continuidad

Función real de dos variables reales.

Función real de dos variables reales.

Distancia entre (x,y) y (0,0)

Pincha IDEA FELIZ

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·  𝐶 1 ≡𝑥=0⇒𝑓(𝑥,𝑦)=𝑓(0,𝑦)= 0 𝑦 2     ⇒     lim (x,y) 𝐶 1 (0,0) 𝑓(𝑥,𝑦)= lim (x,y) 𝐶 1 (0,0) 0 𝑦 2 =0 ·  𝐶 2 ≡𝑦=𝑥⇒𝑓(𝑥,𝑦)=𝑓(𝑥,𝑥)= 𝑥 2 2 𝑥 2    ⇒      lim (x,y) 𝐶 2 (0,0) 𝑓(𝑥,𝑦)= lim 𝑥→0 1 2 = 1 2

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Infinitésimos. Notación de Landau

Infinitésimos. Notación de Landau.

Resumen de herramientas para calcular límites:

CONTINUIDAD Continuidad de una función en un punto 5 3 (1,1)

CONTINUIDAD

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA