TEMA 6: DISTRIBUCIONES ESTADÍTISCAS

INDICE 1.- Variable aleatoria discreta. 2.- Función de probabilidad de variable discreta. Propiedades 3.- Parámetros en distribuciones discretas: Media y varianza 4.- Distribución binomial: Función de probabilidad, media y varianza. 5.- Variable aleatoria continua. Función de densidad. 6.-Distribución normal. 7. Tipificación de la variable. Cálculo de probabilidades con las tablas

1.- Variable aleatoria discreta Una variable aleatoria X es discreta, si solamente puede tomar un conjunto numerable de valores. Como ejemplos de variables aleatorias discretas podemos mencionar: el número de libros en una biblioteca, el número de habitantes en una población, la cantidad de dinero que una persona trae en su bolsillo, el número de aves en un gallinero, el número de admisiones diarias a un hospital, el número de accidentes automovilísticos en una carretera durante un año, etc.

2.- Función de probabilidad de variable discreta. Propiedades Función de probabilidad f, se define de modo que f(xi) es la probabilidad de que X tome ese valor. Si xi no es uno de los valores que puede tomar X, entonces f(xi)=0. La representación gráfica de la función de probabilidad se realiza mediante un diagrama de barras análogo al de distribución de frecuencias relativas para variables discretas

3.- Parámetros en distribuciones discretas: Media y varianza La media de una distribución de probabilidad se denota por la letra griega µ (mu). A la media también se le suele llamar valor esperado o esperanza matemática y se puede denotar como E(x).

La varianza de una distribución de probabilidad se denotan por la letra griega σ2

EJEMPLO:Calcular la esperanza matemática y la varianza, de la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.

4.- Distribución binomial: Función de probabilidad, media y varianza. Sea un experimento aleatorio en el que sólo puedan darse dos posibilidades: que ocurra un determinado suceso A, que llamaremos éxito, o que no ocurra dicho suceso, o sea que ocurra su complementario, que llamaremos fracaso, A . - Se conoce la probabilidad de ocurrencia del suceso A, y por lo tanto la de su complementario. - Se repite el experimento n veces en las mismas condiciones (independencia). Se define la variable aleatoria Binomial. -X: “nº de veces que ocurre el suceso A (nº éxitos) en n realizaciones independientes del experimento”.

Media y varianza de una distribución binomial Ejemplo: La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.

5.- Variable aleatoria continua. Función de densidad. Una variable aleatoria es continua si su recorrido no es un conjunto numerable. Esto significa que el conjunto de posibles valores de la variable abarca todo un intervalo de números reales. La función de densidad de probabilidad representada comúnmente como f(x), se utiliza con el propósito de conocer cómo se distribuyen las probabilidades de un suceso o evento, en relación al resultado del suceso. La función de densidad de una variable aleatoria determina la concentración de probabilidad alrededor de los valores de una variable aleatoria continua.

6.-Distribución normal. Es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales. La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se conoce como campana de Gauss y es el gráfico de una función gaussiana.

EJEMPLO. El tiempo medio en realizar una misma tarea por parte de los empleados de una empresa se distribuye según una distribución normal, con media de 5 días y desviación típica 1 día. Calcular el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 días. t1 = -¥  y  t2 = (7 -5)/1 = 2 En la tabla la probabilidad acumulada para el valor 2 (equivalente a un tiempo inferior a 7 días.). Esta probabilidad es 0,9772. Por lo tanto, el porcentaje de empleados que realizan la tarea en un tiempo inferior a 7 días es del 97,7%.

7. Tipificación de la variable 7. Tipificación de la variable. Cálculo de probabilidades con las tablas Para poder utilizar la tabla de la distribución normal tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).

Ejemplo La media y los que de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan entre 60 kg y 65 kg.