SEMEJANZA AREAS GEOMETRIA DE SÓLIDOS TEMAS PARA HOY SEMEJANZA AREAS GEOMETRIA DE SÓLIDOS

Cociente de dos cantidades para realizar comparación entre ellas. PROPORCIONES RAZÓN Cociente de dos cantidades para realizar comparación entre ellas. a=b a b a / b 1 / 1

PROPORCIONES a≠b a b b / a a a / b 1 / 2 2 / 1

PROPORCIONES Formas de expresar una razón Ej. Razón de 4 a 5 Empleando dos puntos 4:5 Fracción común 4/5 Fracción decimal 0.8 Porcentaje 80% NOTA: Una razón no se asocia con ninguna unidad de medida

PROPORCIONES ¿Que es una Proporción? Es la igualdad de dos razones (Muchas son Fracciones equivalentes) 1/2 = 2/4 1/2 = 3/6 2/4 = 3/6

EJERCICIOS DE APLICACION Se conoce que 100 g de Leche se componen de lo siguiente: 87 g de agua, 3 g de Proteína, 4 g de Grasa, 5 g de carbohidratos y el resto de cenizas. Exprese la razón entre todos los componentes.

EJERCICIOS DE APLICACION Para producir 1000 g de Hamburguesa se requieren 120 g de carne de res y 0.25 Kg de harina de soya. Con esta información resuelva las siguientes situaciones: Si solamente se cuenta con 250 g de Harina de soya, cuantos Kg de Hamburguesa se pueden producir. Si solamente se cuenta con 360 g de Harina de soya, cuantos Kg de Hamburguesa se pueden producir. Si se producen 4 kg de Hamburguesa, cuantos gramos de Carne y Harina se gastaron.

EJERCICIOS Hallar x: 15 / x = 3 / 4 (x-6) / 6 = 5 / 3 (x+y) / 8 = (x-y) / 4 = 2 / 3 (x-2) / 4 = 7x / 6

Segmentos proporcionales PROPORCIONES Segmentos proporcionales Si un segmento es paralelos a uno de los lados de un triangulo, entonces los otros lados quedan divididos en segmentos proporcionales y recíprocamente. A a c ∆ABC, Si DE II BC, entonces a/b =c/d ∆ABC, Si a/b =c/d entonces DE II BC D E b d B C

Segmentos proporcionales PROPORCIONES Segmentos proporcionales Dos transversales cualesquiera, cortadas por tres o mas paralelas quedan dividas en segmentos proporcionales, A B a c D C b d Si AB II EF II CD, entonces a/b =c/d E F

Segmentos proporcionales PROPORCIONES Segmentos proporcionales La bisectriz de un ángulo de un triangulo divide el lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados contiguos. C a ∆ABC, Si CD es bisectriz, entonces a/c =b/d b A B c D d

Segmentos proporcionales PROPORCIONES Segmentos proporcionales Si dos segmentos se dividen proporcionalmente, entonces … A 1. Los segmentos parciales correspondientes son proporcionales. a/b =c/d 2. Los segmentos totales y un par cualesquiera de segmentos parciales homólogos son proporcionales. a / AB = c /AB , b / AB = d / AC a c D E b d B C

PROPORCIONES EJERCICIOS A SI DE II BC, Hallar x x 28 A F D E 6 10 9 12 14 C B C x M B E D 30 21 2x 3x +1 J N P

PROPORCIONES EJERCICIOS Demostrar: Hipótesis: EG II BD, EF II BC Tesis: FG II CD A E 1 En ∆ABD AE/EB = AG/GD 2 En ∆ABC AE/BE = AF/FC G B D Definición de Paralela a un lado de un triangulo F De 1 y 2 AF/FC = AE/AD Transitividad C 3 En ∆ACD FG II CD Definición de Paralela a un lado de un triangulo

POLIGONOS SEMEJANTES Dos poligonos son semejantes si y solo si se tienen los ángulos respectivamente congruentes y los lados correspondientes proporcionales.

TRIANGULOS SEMEJANTES Dos TRIANGULOS son semejantes si y solo si sus ángulos son respectivamente congruentes y los lados homólogos proporcionales.

TRIANGULOS SEMEJANTES B B’ Si <A = <A’, <B=<B’ , <C=<C’, entonces ΔABC ~ ΔA’B’C’ c a c’ a’ A C A’ C’ b b’ Ángulos correspondientes: Los ángulos respectivamente iguales Lados homólogos: Los lados opuesto a los ángulos correspondientes.

PRINCIPIOS REALTIVOS A TRIANGULOS SEMEJANTES B B’ Si <A = <A’ y <B=<B’, entonces ΔABC ~ ΔA’B’C’ c a c’ a’ A C A’ C’ b b’ 1. Dos triángulos son semejantes si dos ángulos de uno de ellos son iguales a sus correspondientes en el otro

PRINCIPIOS REALTIVOS A TRIANGULOS SEMEJANTES B B’ Si <C = <C’ y a / a’=b / b’, entonces ΔABC ~ ΔA’B’C’ c a c’ a’ A C A’ C’ b b’ 2. Dos triángulos son semejantes, si un ángulo de uno de ellos es igual a un ángulo del otro y si los lados que comprenden al primero son proporcionales a los lados homólogos del segundo.

PRINCIPIOS REALTIVOS A TRIANGULOS SEMEJANTES B B’ Si a / a’=b / b’=c / c’, entonces ΔABC ~ ΔA’B’C’ c a c’ a’ A C A’ C’ b b’ 3. Dos triángulos son semejantes, si sus lados homólogos son proporcionales

PRINCIPIOS REALTIVOS A TRIANGULOS SEMEJANTES B B’ Si <B=<B’ o <A =<A’ entonces ΔABC ~ ΔA’B’C’ a c c’ a’ A C A’ C’ b b’ 4. Dos triángulos rectángulos son semejantes, si un ángulo agudo del uno es igual a un agulo agudo del otro. De (1)

PRINCIPIOS REALTIVOS A TRIANGULOS SEMEJANTES B Si DE II AC entonces ΔABC ~ ΔDBE D E A C 5. Todo segmento paralelo a uno del los lados de un triangulo determina un triangulo semejante al dado.

PRINCIPIOS REALTIVOS A TRIANGULOS SEMEJANTES Si ΔABC ~ ΔDEF y ΔMJN ~ ΔDEF entonces ΔABC ~ ΔMJN B E J F M N A C D 6. Triángulos semejantes a un mismo triangulo son semejantes entre si

PRINCIPIOS REALTIVOS A TRIANGULOS SEMEJANTES Si CD es altura del ΔABC entonces ΔABC ~ ΔCDB ~ ΔADC B A D 7.En un triangulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa divide al triangulo dado en otros dos semejantes a este y semejantes entre si.

PRINCIPIOS REALTIVOS A TRIANGULOS SEMEJANTES Si AB II DF y AC II DE y CB II EF entonces ΔABC ~ ΔDEF E D F B A 8.Dos triángulos que tienen sus lados homólogos paralelos entre si son semejantes.

PRINCIPIOS REALTIVOS A TRIANGULOS SEMEJANTES Si AB I EF y AC I DF y CB I DE entonces ΔABC ~ ΔDEF D B A F 8.Dos triángulos que tienen sus lados homólogos perpendiculares entre si son semejantes.

PRINCIPIOS REALTIVOS A TRIANGULOS SEMEJANTES EJERCICIOS C Hipótesis: AC I AD y DE I AB Tesis: AC / DE = AB / BD D A B E

PRINCIPIOS REALTIVOS A TRIANGULOS SEMEJANTES EJERCICIOS T Hipótesis: ST I RS y MN I RT Tesis: ΔRMN ~ ΔRST N R M S

PRINCIPIOS REALTIVOS A TRIANGULOS SEMEJANTES EJERCICIO DE APLICACION Hallar la longitud de la tubería vertical que permitirá bombear la leche desde el punto B hasta el tanque de Enfriamiento T y cuanto costaría si el metro de tubería esta a $200.000 R: Recepción de MP B: Bombeo Vertical T: Tanque de Enfriamiento T 20m 8m R B 40m

TEOREMA DE PITAGORAS a2 + b2 = c2 EN UN TRIANGULO RECTANGULO, EL CUADRADO DE LA HIPOTENUSA ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS. a2 + b2 = c2 c a b

Dados los siguientes casos, encuentre la incógnita TEOREMA DE PITAGORAS EJERCICIOS Dados los siguientes casos, encuentre la incógnita a= 12, b=9, c= ? a=?,b=6, c=8 a= 4√3, b=?, c=8 a= x, b=?, c= x+10 c a b

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Es el numero de unidades cuadradas que contiene una superficie. AREAS ¿Que es Area? Es el numero de unidades cuadradas que contiene una superficie.

Areas de Poligonos L2 π r2 b * h / 2 b * h h h b b b’ r h (b+b’) / 2 h

Areas de Poligonos EJERCICIO Hallar el área de un rectángulo si su base es (x – 2) ul y su altura es (x -1) ul Hallar el área del rectángulo cuya base es 15 ul y su perímetro es 50 ul Hallar el área del cuadrado cuyo perímetro es x ul Hallar el área de un paralelogramo cuya base y altura están a razón de 2 : 3 y la base mide 4 ul Hallar el área de un triangulo rectángulo cuya hipotenusa es m ul y cuya base es l ul Hallar el área de un cuadrado de lado c ul, en función del radio de la circunferencia circunscrita a el, que es de r ul.

POLIGONOS REGULARES Y CIRCUNFERENCIA B A C O F E G POLIGONO REGULAR: Polígono que equilátero y equiángulo (Pentágono) CENTRO DEL POLIGONO: Centro común de sus circunferencias inscrita y circunscrita (O). RADIO DEL POLIGONO: Segmento que une el centro con un vértice del polígono. También es el radio de la circunferencia circunscrita. ANGULO CENTRAL: Es el que forman dos radios que pasan por dos vertices consecutivos. APOTEMA: Segmento perpendicular trazado desde el centro a uno de sus lados.

POLIGONOS REGULARES Y CIRCUNFERENCIA PRINCIPIOS RELATIVOS A LOS POLIGONOS REGULARES El perímetro de un polígono regular es igual al producto de la medida de uno de sus lados por el numero de lados (¿Por qué?) P = nL donde: P: Perímetro n: numero de lados L: magnitud de un lado 2. Todo radio de un polígono regular es bisectriz del ángulo por cuyo vértice pasa (¿Por qué?) 3. Todo apotema de un polígono regular es mediatriz del lado correspondiente (¿Por qué?) 4. En un polígono de n lados cada ángulo central c es igual al 360 / n (¿Por qué?)

POLIGONOS REGULARES Y CIRCUNFERENCIA EJERCICIOS DEMOSTRAR que todo ángulo del vértice (interno) de un pentágono regular queda trisecado por las diagonales trazadas desde ese vértice. Hipótesis: Sea el pentágono ABCDE, BE y BD son diagonales Tesis: BE y BD Triseca al <B B A C E D

POLIGONOS REGULARES Y CIRCUNFERENCIA EJERCICIOS El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto entre su perímetro y apotema. Demostrar este teorema al siguiente triangulo regular l r

POLIGONOS REGULARES Y CIRCUNFERENCIA LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA Y AREA DEL CIRCULO La razón entre la longitud de la circunferencia (perímetro) de la circunferencia de cualquier circulo y su diámetro es siempre una constante (π) d P / d = π

POLIGONOS REGULARES Y CIRCUNFERENCIA LONGITUD DE UN ARCO, AREA DEL SECTOR CIRCULAR Y DEL SEGMENTO CIRCULAR Sector Circular: Es la parte de un circulo comprendida entre dos radios y el arco que subtienden A Longitud de Arco (L) En una circunferencia de radio r, la longitud del arco de nº es igual a … L= 2 π r n / 360 nº B O r Área del Sector Circular (S) En una circunferencia de radio r, la longitud del arco de nº es igual a … S= π r 2 n / 360

POLIGONOS REGULARES Y CIRCUNFERENCIA LONGITUD DE UN ARCO, AREA DEL SECTOR CIRCULAR Y DEL SEGMENTO CIRCULAR Segmento Circular: Es la parte de un circulo comprendida entre una cuerda y el arco que subtiende A Área del Segmento Circular (C) Es igual al área del sector correspondiente menos el área del triangulo que forman sus radios y la cuerda que subtienden C = S - AΔAOB nº B r O

POLIGONOS REGULARES Y CIRCUNFERENCIA LONGITUD DE UN ARCO, AREA DEL SECTOR CIRCULAR Y DEL SEGMENTO CIRCULAR B Si un polígono regular esta inscrito en una circunferencia, cada segmento circular que tiene por cuerda al lado del polígono es igual a la diferencia entre el área del circulo y la del polígono, dividida por el numero de lados. L r A C

POLIGONOS REGULARES Y CIRCUNFERENCIA EJERCICIOS Hallar la longitud L de un arco de xº perteneciente a una circunferencia cuya longitud es igual a 10π (R// xπ/36) Hallar el Área S de un sector circular de kº perteneciente a un circulo de radio igual a 12 ul (R// 2/5 Kπ) Hallar el Área C de un segmento circular cuyo ángulo central vale 60º y el radio del circulo al cual pertenece es igual a 12.(R// 24 π - 36√3)

AREAS DE FIGURAS COMBINADAS Y AREAS SOMBREADAS Se puede calcular el área de una combinación de figuras, calculando por separado el área de cada parte y realizando luego las operaciones necesarias para encontrar el área pedida.

AREAS DE FIGURAS COMBINADAS Y AREAS SOMBREADAS EJERCICIOS Área sombrada = A cuadrado + A semicírculo = 82 + π42/2 = 64 + 8 π C B 8 8 D A

AREAS DE FIGURAS COMBINADAS Y AREAS SOMBREADAS EJERCICIOS 2 10 4

AREAS DE FIGURAS COMBINADAS Y AREAS SOMBREADAS EJERCICIOS 10 4

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GEOMETRIA DE SÓLIDOS AREAS Y VOLUMENES Es una porción del espacio SÓLIDO Es una porción cerrada de espacio, limitada por superficies planas o curvas. SUPERFICIE / AREA Es lo que separa al sólido del resto del espacio

GEOMETRIA DE SÓLIDOS AREAS Y VOLUMENES Paralepipedo Vol. = L . A. h Área = 2(Lh +hA + LA) h A L Cubo Vol. = a3 Área = 2(Lh +hA + LA) a

GEOMETRIA DE SÓLIDOS AREAS Y VOLUMENES Pirámide Vol. = 1/3 Ab * h Área = Ab + Σ Áreas caras laterales h Cono Vol. = 1/3 π r2 h Área = Ab + A lat (triangulo de rev.) h a

GEOMETRIA DE SÓLIDOS AREAS Y VOLUMENES Cilindro Vol. = π r2 h Área = 2π r2 + 2π rh h A Esfera Vol. = 4/3 π r3 Área = 4 π r2 r L

GEOMETRIA DE SÓLIDOS AREAS Y VOLUMENES EJERCICIO DE APLICACION Se desea conocer el área de contacto entre la pared de una marmita y una leche que se desea pasteurizar, con el fin de evaluar la transferencia de calor. Se sabe que el volumen de leche es máximo el 80% del volumen total del equipo que posee un fondo semiesférico y un cuerpo superior cilíndrico. 1 m 2 m