PROGRAMACIÓN LINEAL MULTIOBJETIVO CARLOS JAVIER URIBE -UNIVERSIDAD DE LA COSTA

MÚLTIPLES OBJETIVOS Muchos problemas prácticos involucran más de un criterio para evaluar una solución. Cuando los objetivos no pueden ser reducidos a una escala común (costo-beneficio) el problema debe tratarse como multiobjetivo.

PORTAFOLIO DE INVERSIÓN Al momento de asignar sus inversiones, un banco comercial debe mantener un balance entre los retornos esperados de una inversión y los riesgos. Las oportunidades que prometen los más altos rendimientos son casi siempre las que presentan los mayores riesgos.

PORTAFOLIO DE INVERSIÓN Suponga un banco que tiene $20 millones de capital, $150 millones en depósitos disponibles en cuentas corrientes (cc) y $80 millones en certificados de depósito a término fijo (cd).

PORTAFOLIO DE INVERSIÓN La siguiente tabla muestra las categorías entre las cuales el banco puede realizar inversiones, junto con información relevante.

PORTAFOLIO DE INVERSIÓN Se define una variable de decisión para cada categoría de inversión como: El banco desea maximizar su utilidad. Empleando las tasas de retorno se puede llegar a la siguiente función objetivo:

PORTAFOLIO DE INVERSIÓN Cuantificar el riesgo de una inversión es más difícil. Se emplean dos medidas: Coeficiente de solvencia: razón entre el capital requerido y el capital actual. Activos sin liquidez: razón entre la inversión total en activos de riesgo y el capital actual.

PORTAFOLIO DE INVERSIÓN Se tienen las siguientes restricciones: Debe invertirse todo el dinero disponible Las reservas de efectivo deben ser al menos el 14% de cc más el 4% de cd La fracción de inversiones líquidas debe ser al menos 47% de cc más el 36% de cd Al menos un 5% de los fondos se debe invertir en cada categoría Al menos 30% de los fondos debe ser invertido en créditos comerciales

PORTAFOLIO DE INVERSIÓN El modelo completo:

DISEÑO DE DINAMÓMETRO El diseño de casi cualquier componente en ingeniería implica el balance de diferentes medidas de desempeño.

DISEÑO DE DINAMÓMETRO Considere el diseño del anillo para dinamómetro1 que se muestra en la figura, para el cual se quiere maximizar la sensibilidad y la rigidez: 1 Basado en: N. Singh and S.K. Agarwal (1983) "Optimum Design of an Extended Octagonal Ring by Goal Programming." International Journal of Production Research, 21, 891-898

DISEÑO DE DINAMÓMETRO Un modelo de optimización para dicho problema es: donde E=2.1x106 es el módulo de Young de la elasticidad del material del que se fabrica el anillo.

DESECHOS PELIGROSOS La mayoría de los problemas de planeación en el sector público son multiobjetivos. Involucran intereses en conflicto y a menudo son difíciles de cuantificar en dinero.

DESECHOS PELIGROSOS Observe el siguiente problema de disposición de desechos nuclerares2. 2 Basado en C. Re Velle, J. Cohon and D. Shobrys (1991), “Simultaneous Siting and Routing in the Disposal of Hazardous Wastes” Transportation Science, 25, 138-145.

DESECHOS PELIGROSOS Materiales peligrosos son generados en 7 fuentes. El objetivo es seleccionar 2 de 3 posibles sitios para recibir y disponer los desechos. Cuando el sistema esté listo los desechos serán llevados de las fuentes a los sitios de disposición empleando la red vial pública.

DESECHOS PELIGROSOS Se requiere reducir los costos y los tiempos en tránsito del transporte, seleccionando las rutas más cortas. Se debe minimizar la circulación de los vehículos por zonas densamente pobladas debido a los riesgos que implica.

DESECHOS PELIGROSOS Se cuenta con los siguientes parámetros

DESECHOS PELIGROSOS Los parámetros se muestran en la tabla

DESECHOS PELIGROSOS El modelo de optimización es:

PUNTOS EFICIENTES Una solución a un modelo de optimización multiobjetivo es un punto eficiente si ninguna otra solución factible es al menos tan buena en todas las funciones objetivo y estrictamente mejor en una de ellas. También se conocen como puntos no dominados.

FRONTERA EFICIENTE La frontera eficiente de un modelo de optimización multiobjetivo es el conjunto de todos los puntos eficientes del modelo. También se conoce como frontera de Pareto.

OPTIMIZACIÓN PREFERENTE La optimización preferente o lexicográfica resuelve un MOLP considerando las diferentes funciones objetivo una a la vez. La función objetivo más importante se optimiza primero en un LP; luego la segunda sujeta a un requerimiento de que la primera función objetiva esté en su valor óptimo y así sucesivamente.

OPTIMIZACIÓN PREFERENTE Si en cada etapa el LP arroja un óptimo, la solución final será un punto eficiente del MOLP. En el proceso, después de optimizar una función objetivo, los soluciones en las etapas subsecuentes son óptimos alternos del primero.

SUMA PONDERADA DE F.O. Múltiples funciones objetivo se pueden combinar a través de una suma ponderada. Se maximiza la suma ponderada con pesos positivos en f.o. de maximización y pesos negativos en f.o. de minimización. Se minimiza la suma ponderada con pesos negativos en f.o. de maximización y pesos positivos en f.o. de minimización.

SUMA PONDERADA DE F.O. Los pesos reflejan la importancia relativa de cada función objetivo. Si un modelo con una función objetivo ponderada, derivada de un MOLP, produce una solución óptima, entonces dicha solución es un punto eficiente del MOLP original.

REFERENCIAS Rardin, R. (1998). Optimization in Operations Research. Prentice-Hall.