Puntajes estándar y curva normal Nazira Calleja

Curva normal “Dios ama la curva normal” Campana de Gauss Pocos casos La mayoría de los casos Pocos casos

Habilidades cognitivas Distribución normal Distribución de datos de una variable que asemeje la forma de una curva normal En la naturaleza, casi todas las variables se distribuyen de esta forma Habilidades cognitivas ESTATURA Peso IQ Calificaciones Hojas de los árboles Cabellos de las personas

Historia de la distribución normal 1733 Abraham De Moivre presentó la distribución normal por primera vez. 1809 Gauss justificó rigurosamente la distribución normal de los errores. El nombre de Gauss se ha asociado a esta distribución porque la usó con profusión cuando analizaba datos astronómicos. Algunos autores le atribuyen un descubrimiento independiente del de De Moivre. Fue una de las mentes más brillantes que han vivido sobre la Tierra.

Historia de la distribución normal 1812 Laplace amplió el concepto en su libro Teoría analítica de las probabilidades y usó la distribución normal en el análisis de errores de experimentos. Lo que sabes es muy poco; lo que ignoramos, inmenso. Esprit Jouffret usó el nombre de "campana" (bell surface) por primera vez. 1875 Francis Galton, Charles Pierce y Wilhelm Lexis otorgaron independientemente la denominación de "distribución normal".

Distribución normal Unimodal Media = Mediana = Modo Mesocúrtica Simétrica

Distribución normal Pafnuty Chebichov Sólo 27 de 10,000 caerán fuera del área de 3 desviaciones estándar a ambos lados de la media. Pafnuty Chebichov

Curva normal o Campana de Gauss

Distribución normal Combinaciones

Puntajes estandarizados Puntajes Z Estandarización Puntajes originales o brutos X Puntajes estandarizados Z Puntaje Z: Número de desviaciones estándar en el que se encuentra ubicado un puntaje en relación con la media de la distribución. En SPSS: Analizar – Descriptivos – Guardar valores tipificados como variables

Distribución de puntajes Z puntajes estandarizados Z Distribución de puntajes originales o brutos X Media = 0 Desviación estándar = 1

Puntaje Z De X a Z De Z a X Puntaje X

El puntaje Z indica: a) Qué tan lejos se encuentra de la media. -3 -2 -1 1 2 3 b) En qué dirección. Puntaje Z positivo: El puntaje X es > la media Se ubica a la derecha o arriba de la media Puntaje Z negativo: El puntaje X es < la media Se ubica a la izquierda o abajo de la media

Los estadísticos han construido tablas que indica el valor de estas proporciones para cada posible puntaje Z, que ahora se calcula electrónicamente. Calculadoras electrónicas de puntajes Z y áreas bajo la curva: http://davidmlane.com/hyperstat/normal_distribution.html http://psych.colorado.edu/~mcclella/java/normal/normz.html

Tabla de Z Z Los estadísticos han construido tablas que indica el valor de estas proporciones para cada posible puntaje Z. % Z Z % % Z Calculadoras electrónicas de puntajes Z y áreas bajo la curva: http://davidmlane.com/hyperstat/normal_distribution.html http://psych.colorado.edu/~mcclella/java/normal/normz.html

Puntaje Z Puntaje X Percentil

Ejemplo 1 Una compañía farmacéutica fabrica píldoras de vitaminas que contienen un promedio de 507 gramos de vitamina C con una desviación estándar de 3 gramos. -3 -2 -1 1 2 3 498 501 504 507 510 513 516 68% 95% 99.7%

Puntajes brutos de creatividad Puntajes z de creatividad Casos Puntajes brutos de creatividad Puntajes z de creatividad 1 12 -0.23 2 13 0.04 3 9 -1.05 4 18 1.41 5 7 -1.60 6 14 0.31 8 16 0.86 10 -0.78 11 19 1.68 15 17 20 -0.51 Media 12.85 Desviación estándar 3.66 Ejemplo 2

Puntajes brutos de creatividad Puntajes z de creatividad Casos Puntajes brutos de creatividad Puntajes z de creatividad 1 12 -0.23 2 13 0.04 3 9 -1.05 4 18 1.41 5 7 -1.60 6 14 0.31 8 16 0.86 10 -0.78 11 19 1.68 15 17 20 -0.51 Media 12.85 Desviación estándar 3.66 Ejemplo 2

Caso núm. 5 (con puntaje bruto de 7): El puntaje bruto de 7 se encuentra 1.6 unidades de desviación estándar debajo de la media

Puntajes brutos de creatividad Puntajes z de creatividad Casos Puntajes brutos de creatividad Puntajes z de creatividad 1 12 -0.23 2 13 0.04 3 9 -1.05 4 18 1.41 5 7 -1.60 6 14 0.31 8 16 0.86 10 -0.78 11 19 1.68 15 17 20 -0.51 Media 12.85 Desviación estándar 3.66 Ejemplo:

Caso núm. 14 (con puntaje bruto de 19): El puntaje bruto de 19 se encuentra 1.68 unidades de desviación estándar arriba de la media

Comparación de puntajes de diferentes distribuciones con puntajes z Puntaje bruto Puntaje z 0.25 1.28 2.33 Percentil Juan en aritmética Alicia en aritmética Juan en español Alicia en español

Comparación de puntajes de diferentes distribuciones con puntajes z Ejemplo 3 Estudiante 1 Estudiante 2 Examen Estadística Contabilidad Puntaje obtenido 76 (de 100) 82 (de 100) ¿Quién tuvo una mejor ejecución, el estudiante A o el estudiante B? Es difícil comparar los puntajes obtenidos por ambos porque puede ser, entre otras cosas, que la clase de contabilidad haya sido más fácil que la de estadística; o que los alumnos de contabilidad hayan variado más o menos que los de estadística en sus calificaciones finales... Sólo se pueden comparar si las tales calificaciones se convierten en puntajes estandarizados.

Comparación de puntajes de diferentes distribuciones con puntajes z Estudiante A Estudiante B Examen Estadística Contabilidad Puntaje obtenido 76 (de 100) 82 (de 100) Media 54 72 Desviación estándar 20 15 Puntaje Z (76-54)/20 = 1.1 (82-72)/15 = 0.67 Conclusión: La ejecución del estudiante A fue mejor que la del estudiante B. En este ejemplo, la unidad de medición fue la misma (puntaje sobre 100); sin embargo, también es posible hacer comparaciones de puntajes de distribuciones basadas en unidades diferentes. Todo lo que se necesita es conocer la media y la desviación estándar de las distribuciones correspondientes.

Zleche = ––––––––––––– = 3.25 Zjamón = ––––––––––––– = 2.60 Ejemplo 4 El precio promedio de un litro de leche es de $6.30 y la desviación estándar es de 80 centavos. El precio promedio de un paquete de jamón es de $18.00 y la desviación estándar es de $1.50. Si pagamos $8.90 por un litro de leche y $21.90 por un paquete de jamón en un supercito de 24 horas, ¿cuál es relativamente más caro? 8.90 – 6.30 Zleche = ––––––––––––– = 3.25 0.80 21.90 – 18.00 Zjamón = ––––––––––––– = 2.60 1.50 Leche: Conclusión: Estamos pagando un poco más por la leche que por el jamón. Jamón:

Teorema del límite central Una distribución tenderá a ser aproximadamente normal en la medida que se aumenta el tamaño de la muestra.