ESTUDIO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO ENTERO POSITIVO

Recordemos acerca de los múltiplos Cada número es múltiplo de sí mismo. El “0” es múltiplo de todo número. Los múltiplos de un número son ilimitados. La suma de los múltiplos de un número es múltiplo de ese mismo número. Ejemplo: 20 y 35 son múltiplos de 5. Entonces: 20 + 35 = 55 ,también es múltiplo de 5. El producto de los múltiplos de un número es múltiplo de ese mismo número. 12 y 18 son múltiplos de 3. Entonces: 12 x 18= 216 , también es múltiplo de 3.

Múltiplo 4 x 0 = 0 4 x 1 = 4 4 x 2 = 8 4 x 3 = 12 4 x 4 = 16 4 x 5 = 20 4 x 6 = 24 ……………… Se observa que los productos de las multiplicaciones realizadas {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; …} son los múltiplos de 4. m(4) = = {0; 4; 8; 12; 16; 20; 24; …} Se llama múltiplo de un número al producto de dicho número por cualquier número natural. Si un número es múltiplo de otro, entonces la división es exacta.

Divisor 20 : 1 = 20 20 : 2 = 10 20 : 4 = 5 20 : 5 = 4 20 : 10 = 2 20 : 20 = 1 Observamos que el conjunto formado por los divisores de 20 son {1; 2; 4; 5; 10; 20}. Luego: D(20) = {1; 2; 4; 5; 10; 20} Recordemos: Un número que divide exactamente a otro número, se denomina divisor. El número “1” es divisor de todo número natural. El conjunto de divisores es limitado. Todo número natural es divisor de sí mismo.

CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS NÚMEROS SIMPLES Son aquellos números que tiene a lo más dos divisores. La unidad: Es el único Z+ que tiene un solo divisor. También se le llama primo relativo. Primos Absolutos: Son aquellos números que poseen exactamente dos divisores: la unidad y el mismo número. Generalmente, se le dice número primo. {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29;….}

NÚMEROS COMPUESTOS Son aquellos números enteros positivos que tiene más de dos divisores. {4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18;….} OBSERVACIÓN: Todo número compuesto posee por lo menos un divisor primo. El menor número compuesto es el 4.

Números primos y compuestos Número primo D(5) = {1; 5} D(13) = {1; 13} Cuando un número natural tiene exactamente dos divisores distintos: la unidad y él mismo, se denomina número primo. Luego, el conjunto de los primeros números primos es: {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29; 31; 37; …} Número compuesto D(6) = {1; 2; 3; 6} D(25)={1; 5; 25} Cuando un número natural tiene más de dos divisores, se denomina número compuesto. Luego, el conjunto de los primeros números compuestos es: {4; 6; 8; 9; 10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 21; …}

Propiedades de los números primos El conjunto de los número primos es infinito El 2 es el único número par que es primo. 2 y 3 son los únicos números consecutivos y primos a la vez. 3; 5 y 7 es la única terna de números impares consecutivos y primos a la vez. o 4 − 1 0 0 Todo número primo mayor que 3 es de la forma 6 + 1 o 6 − 1 Lo contrario no necesariamente se cumple. Todo número primo mayor que 2 es de la forma 4 + 1

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA (TEOREMA DE GAUSS) Todo número entero positivo mayor que la unidad puede expresarse como el producto de sus divisores primos diferentes, elevados a exponentes enteros positivos. Dicha representación es única a excepción del orden de los factores y se denomina descomposición canónica.

CDP : Cantidad de divisores primos Descomposición canónica de un número (D.C.) Consiste en expresar un número como el producto de sus factores primos. Ejemplo: Determina la descomposición canónica del número 120. 120 2 60 2 30 2 Luego: 15 3 5 5 1 Cantidad de divisores de un número(C.D.) Dado el número “N” tal que: Luego la cantidad de divisores de “N” está dado por: CD(N) = (x+1)(y+1)(z+1) Ejemplo: Calcula la cantidad de divisores de 120. CD(120) = (3+1)(1+1)(1+1) CD(120) = 16 CD(N) = CDP + CDC + 1 CDP : Cantidad de divisores primos CDC : Cantidad de divisores compuestos

SUMA DE DIVISORES DE UN NÚMERO

PRODUCTO DE DIVISORES DE UN NÚMERO

SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO

CASO PARTICULAR Descomposición canónica del factorial de un número entero positivo Ejemplo Descomponer canónicamente el factorial de 24. Resolución Por definición: 24! = 1.2.3.4.5. … .23.24 Los factores primos elevados a ciertos exponentes: 24! = 2ª . 3b . 5c . 7d . …. . 23z Cálculo de los exponentes: “Se divide sucesivamente, el número del factorial por el factor primo que se desee hallar su exponente y enseguida se suman los cocientes”

Veamos: 24! = 2ª . 3b . 5c . 7d . …. . 23z Hallamos el exponente de 2: dividimos sucesivamente por 2: Hallamos el exponente de 3: dividimos sucesivamente por 3: 24 2 24 3 12 2 8 3 6 2 2 3 2 b : 8 + 2 = 10 1 a : 12 + 6 + 3 + 1 = 22 Y así sucesivamente se obtiene: 24! = 222 . 310. 54 . 73 . 112 . 13 . 17 . 19 . 23