Investigación de operaciones Autor: Raymundo Palacios Capítulo 3 Formulación de problemas

3.1 Introducción La primera referencia a la programación lineal (PL) se remonta al año de 1781, cuando el general francés Gaspard Monge abordó el problema de la construcción y abastecimiento de fortificaciones militares de Napoleón. Para resolver el caso, el general utilizó el método de “cortar y llegar”; es decir, ir abasteciendo las diferentes trincheras desde los depósitos de materiales ya existentes.

3.1 Introducción Muchos analistas consideran que la PL inició con el método de análisis de insumo- producto, desarrollado por el economista Vassily Leontief en 1936, el cual tiene por objeto encontrar las relaciones entre la materia prima y los procesos de producción, durante un periodo de tiempo.

3.1 Introducción El Dr. George Dantzig (1947) revolucionó la PL con su método símplex (algoritmo que sigue un procedimiento de solución sistemática que permite realizar una serie de pasos repetitivos que optimizan el objetivo deseado, el cual se encuentra condicionado a restricciones).

3.1 Introducción La programación lineal (PL) se define como una técnica que utiliza métodos cuantitativos, en el que una función objetivo claramente definida debe de maximizarse (utilidad) o minimizarse (tiempo o costos) cuando se consideran ciertas restricciones (recursos limitados y requerimientos).

3.1 Introducción La palabra “lineal” en PL se refiere a un modelo simbólico formulado por medio de un sistema de ecuaciones lineales. El término “programación” no tiene relación alguna ni con la programación para computadoras ni con el desarrollo del software correspondiente Su origen está relacionado con procedimientos y programas de actividades para realizar eficazmente una tarea en términos matemáticos.

3.1 Introducción Desde su aparición a finales de la década de 1940, la PL ha demostrado ser una de las herramientas más efectivas en la investigación de operaciones (IO). Su éxito se debe a la flexibilidad para describir un gran número de situaciones reales en el terreno militar, en la agricultura, en el transporte, en la economía, en la salud, e incluso en la conducta psicológica y social del ser humano.

3.1 Introducción La utilidad de la PL como herramienta determinística trasciende sus aplicaciones inmediatas. De hecho, la PL forma el pilar de otras técnicas de la IO, como son: la asignación de transbordo, la programación entera, la programación dinámica, las líneas de espera, los modelos de producción, inventarios y pronósticos, etcétera.

3.2 Estructura matemática de modelos en programación lineal La programación lineal (PL) es una herramienta cuantitativa basada en un sistema de ecuaciones lineales, la cual debe satisfacer un objetivo específico sujeto a restricciones: Maximizar (o minimizar) la función: F = c1x1 + c2y2 +…+ crzu Sujeta a restricciones: R1 (k11x11 + k12y12 + … + k1sz1n) + … ≤ ( =, ≥ ) b1 R2 (k21x21 + k22y22 + … + k2sz2n) + … ≤ ( =, ≥ ) b2 : : Rv (kp1xm1 + kp2ym2 + … + kpszmn) + .. ≤( =,≥ ) bq Donde: xmn ≥ 0 , ymn ≥ 0,… …,zmn ≥ 0

3.2 Estructura matemática de modelos en programación lineal La función objetivo o función de utilidad F= c1x1 + c2y2+…+ crzu establece el rendimiento máximo (medido en cantidades de plusvalía) o mínimo (medido en cantidades de tiempo o en costos). La función de restricción establece los requerimientos (≥) o limitaciones ( ≤ y = ) bajo las cuales se encuentra sujeto lo que se desea maximizar o minimizar: R1, R2 hasta Rv (kp1xm1 + kp2ym2 +…+ kpszmn) + …≤ ( =,≥ ) bq Las incógnitas xmn, ymn +… zmn se llaman variables de decisión, las cuales son cantidades controladas por la administración. Las variables de decisión no pueden adquirir valores negativos (xmn ≥ 0 , ymn ≥ 0,… …zmn ≥ 0) Cr y kps, son constantes cuyos valores numéricos (datos) se conocen.

3.2 Estructura matemática de modelos en programación lineal El modelo exige que la función de restricción debe satisfacer una condición expresada mediante una desigualdad o igualdad matemática (≤, = y ≥), siendo b1, b2 hasta bq parámetros cuyos valores numéricos (datos) se encuentran determinados. En otras palabras, en el lenguaje de los modelos de la programación lineal, una restricción es una igualdad o desigualdad matemática que debe ser satisfecha.

3.2 Estructura matemática de modelos en programación lineal Una restricción matemática del tipo Rv (kp1xm1 + kp2ym2 +…+ kpszmn) = bq se denomina ecuación porque es una igualdad en la que hay una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo es verdadera para determinados valores de las incógnitas. Las restricciones matemáticas del tipo Rv (kp1xm1 + kp2ym2 +…+ kpszmn) + ..≥ bq y Rv (kp1xm1 + kp2ym2 + … + kpszmn) + ..≤ bq se llaman desigualdades, lo que indica que una cantidad es menor-igual o mayor-igual que otra.

3.3 Formulación PL basada en la producción de sofás Una fábrica de muebles elabora un sofá tipo A y otro tipo B en cuatro departamentos de la siguiente manera (Ver la tabla 3.1): Se desea saber cuántos sofás del tipo A y B se deben fabricar para maximizar las ganancias. El precio de cada sofá A es de €10 y el del sofá B es de €25 por pieza El problema de PL queda planteado como sigue: Maximizar: Z = 10 X + 25 Y Sujeto a: X+ 2Y ≤ 80 Departamento de corte (3/4)X + (1/2)Y ≤ 20 Departamento de armado X≤ 50 Departamento de tapicería Y≤ 10 Departamento de cubiertas donde: X,Y ≥ 0

3.4 MODELO DE PL BASADO EN UNA DIETA PARA UN CABALLO LUSITANO Un veterinario le recomendó a uno de sus clientes que alimentara a su caballo lusitano durante tres meses con maíz, trigo y sorgo. El dueño sólo puede proporcionar estos tres alimentos mezclando dos costales que contengan las cantidades en diferentes proporciones que se muestran en la tabla 3.2. La cantidad de alimentos que deberá comprar durante los tres meses se encuentra estimada en la tabla 3.3. Al dueño le cuesta $30 pesos el costal X y $40 pesos el costal Y ¿Cuántos costales puede comprar de X y Y al menor costo posible?

3.4 MODELO DE PL BASADO EN UNA DIETA PARA UN CABALLO LUSITANO El problema de PL queda planteado como sigue: Minimizar Z = 30X + 40Y Sujeto a: 4X ≥ 12 Cantidad de maíz 3Y ≥ 6 Cantidad de trigo X + 1.5Y ≤ 9 Cantidad de sorgo donde X, Y ≥ 0