CUADROS MAGICOS

BREVE HISTORIA

El origen de los cuadrados mágicos nos es desconocido El origen de los cuadrados mágicos nos es desconocido. Sabemos que fueron conocidos por los chinos y los hindúes antes de nuestra era, pero ignoramos todo lo referente a su concepción. La leyenda dice que en el 2200 aC. el emperador chino Shu vio el cuadrado mágico de 3x3 en el caparazón de una tortuga en el río Lo. Lamentablemente, en nuestros tiempos las fábricas de tortugas no utilizan estampados tan bonitos. Aparentemente, el primer texto en que se muestra un cuadrado mágico, es un manuscrito árabe del Siglo VIII. El cuadrado mostrado es de 3x3, y el autor se lo atribuye a Apolonio de Tiana, que vivió en el Siglo I.

El cuadrado de 3 aparece nuevamente en un trabajo del matemático judío Ibn Esra, del Siglo XII. Parece ser que los cuadrados mágicos fueron introducidos en Europa por el gramático bizantino Moschopoulos, en el Siglo XIV. Se ha encontrado un manuscrito suyo en el que da varios cuadrados de lado 4n y de lado impar, dando un procedimiento general para construirlos, por un lado, mientras que por otro, muestra un cuadrado de 6x6 sin aportar el método por el cual lo obtuvo.

Cornelius Agrippa, en "De oculta philosophia libri tres" (Colonia, 1533), da cuadrados mágicos desde 3x3 hasta 9x9, tanto en cifras arábigas como en caracteres hebreos, y los llama tabulae Saturni, Jovis, Martis, Solis, Veneris, Mercurii, Lunae. Aun los que aparecen en cifras arábigas están representados de derecha a izquierda, lo que podría ser testimonio de procedencia semítica. No da ningún método de construcción, y se ocupa solamente de las propiedades que tendrían como talismanes.

A -Coloque el número 1 en la casilla del medio de la fila superior. METODO DE LA LAUBERE A -Coloque el número 1 en la casilla del medio de la fila superior. B -Para colocar el número siguiente, desplácese una casilla hacia arriba y una hacia la derecha. Si el número que intenta colocar queda fuera del cuadrado, recuerde que debe considerar unidos los bordes de éste. Continúe aplicando este paso hasta que se encuentre con que no puede colocar el número correspondiente porque en la casilla que va ya hay un número. C -Si al intentar colocar un número con la regla anterior se encuentra con que no puede hacerlo debido a que la casilla en que iría está ocupada, entonces colóquelo en la casilla que está inmediatamente abajo de la del último número que colocó. D -Complete el cuadrado aplicando la regla B, y cuando no pueda hacerlo, aplique la regla C.

EJEMPLO

METODO BÁSICO El método básico consiste en añadir lateralmente a los cuatro lados series virtuales de casillas, de forma triangular, de manera que nos quede la figura de un rombo. (Paso número 1)     Entonces, y comenzando desde el extremo superior, situaremos todas las cifras –a partir del 1- siguiendo sólo las diagonales alternas formadas en el rombo, observad que quedan, por tanto, líneas diagonales y casillas interiores del cuadrado en blanco. (Paso número 2)     El cuadrado mágico se completa situando los números que han quedado en las casillas “virtuales” exteriores del cuadrado, en las casillas interiores en blanco, siguiendo primero una simetría horizontal, las del triángulo superior pasan a completar la parte inferior, como si lo recortásemos y lo pegásemos sin girarlo y las del triángulo inferior en la parte superior; y una simetría vertical, las de la parte exterior derecha en la interior izquierda y al revés. (Paso número 3)

EJEMPLO

METODO DE LA “X” Con este método podrá construir cuadrado mágicos cuyos lados tengan un número múltiplo de 4 de casillas. Para hacerlo, dibuje su cuadrado, coloque los números comenzando por el 1 en su orden natural desde arriba a la izquierda hasta abajo a la derecha, como se escribe en español. Divida el cuadrado en subcuadrados de 4x4 como muestra la figura, que es parte de la construcción de un cuadrado de 8x8, y dibuje una "X" en cada subcuadrado, de modo que su centro coincida con el centro del subcuadrado que la contiene.

Los números no "tocados" por las X (en negro en la figura) quedarán en las casillas en que se encuentran, mientras que los "tocados" por las X, serán movidos. La forma de hacer ese movimiento es simetrizar con respecto al centro del cuadrado total los números "tocados" o, lo que es igual, invertir el orden en que han sido colocados en el cuadrado. La figura muestra cómo hacerlo en nuestro caso, lo que da el cuadrado mágico ya construido

1. Comenzaremos por situar el número 1 (o la 1ª cifra de la serie) en el extremo superior izquierda y entonces escribiremos, desplazándonos de izquierda a derecha, sólo las cifras correspondientes a las casillas que forman las dos diagonales principales. 1>   4 6 7 10 11 13 16

2. Ahora nos situaremos en la primera casilla inferior derecha en blanco, vecina de la del extremo, dónde pondremos el número 2 (o la 2ª cifra de la serie) e iremos desplazándonos hacia arriba y en sentido de derecha a izquierda para ir completando, en estricto orden, las casillas que faltan, es decir, las que forman los interiores de las diagonales principales y las dos casillas exteriores de las filas centrales.     Es decir, pondremos el 2 e iremos contando de uno en uno hasta llegar a una de las casillas mencionadas, entonces escribimos esta cifra y las seguimos enumerando, si se acaba una fila subimos a la anterior y cambiamos de sentido (zigzag), hasta llegar al extremo superior izquierda.     De hecho, como se puede observar, el cuadrado mágico de orden 4 ya ha quedado completamente resuelto. 1 15 14 4 12 6 7 9 8 10 11 5 13 3 2 <16

Metodo de LUX Con este método podrá construir cuadrados mágicos que tengan un número par no divisible entre 4 de casillas por lado, excepto cuadrados de 2x2, que no existen. En este metodo ocuparemos una n, tal que, n es el numero de casillas por cuadro y tambien sea mayor que dos, no es multiplo de cuatro y es par. Por lo tanto n se puede escribir n=4k+2

Vamos a dividir el espacio en subcasillas de tal forma que nos quede un cuadro de 2k+1. Con este ejemplo donde n=14 sabemos que k=3, por lo tanto tenemos un cuadro de 7 subcasillas. Las primeras k+1 casillas de arriba para abajo se llenaran con “L”, la primera fila siguiente se llenara con “U” y las restantes con “X”

En el siguiente paso se intercambia la “U” del centro con la “L” de arriba

La forma de llenar las casillas dependera de la letra que las subcasillas contengan. Por lo que se rellenaran las subcasillas en grupos de 4 numeros. Se empezaran a llenar las subcasillas como en el metodo Laubere

CUADRADO SEMIMÁGICO  m2 números dispuestos en un cuadrado de m casillas de lado, de forma que la suma de los números sea la misma en cada fila y columna del cuadrado.   CUADRADO MÁGICO  Cuadrado semimágico en el que la suma de los números en las dos diagonales principales es igual a la suma de los números de cualquier hilera del cuadrado.   CONSTANTE DEL CUADRADO  En un cuadrado mágico o semimágico, la suma de los números en cada hilera del cuadrado. La representaremos usualmente como K.   CUADRADO N-MÁGICO  Cuadrado mágico que se mantiene mágico al elevar a la n-ésima potencia todos sus números.   CUADRADO DIABÓLICO            Cuadrado mágico en el que la suma de todas las diagonales (inclusive las truncadas) es igual a la constante del cuadrado.

Cuadro n-magico Cuadro Diabolico 64 47 14 75 31 25 62 42 34 17 78 36 64 47 14 75 31 25 62 42 34 17 78 36 19 56 50 3 67 59 39 22 70 53 6 72 28 11 69 52 8 74 27 10 58 41 21 13 77 30 24 61 44 2 63 46 38 18 55 49 5 66 33 16 80 48 4 68 35 15 79 37 20 54 73 29 9 57 40 23 71 51 7 26 60 43 1 65 45 12 76 32 1 8 13 12 15 10 3 6 4 5 16 9 14 11 2 7