Cuatro lecciones de Matemáticas (II) Profesor: Julián García Crisóstomo

ÍNDICE Un poco de historia ................................................... 4 Vectores en el plano ..................................................5 Operaciones con vectores ....................................... 9 Dependencia lineal .................................................14 Base ........................................................................17 Producto escalar .....................................................19 Ejercicios ................................................................. 26 Geometría Analítica ..................................................28 Ecuación de la recta ................................................ 36 Ejercicios .................................................................. 47 Posición relativa de dos rectas .................................50

Distancia entre dos puntos ........................................ 56 Ejercicios .................................................................... 57 Distancia de un punto a una recta ..............................60 Ejercicios .................................................................... 64 Lugares geométricos .................................................. 65 Cambio de sistema de referencia ...............................73 Cónicas .......................................................................82 Ejercicios ...................................................................106

Un poco de historia La geometría analítica estudia las figuras geométricas aplicando técnicas del análisis matemático y del álgebra. Su creador fue el francés Descartes, que relaciona el álgebra con la geometría (principios del siglo XVII) La feliz idea que originó la geometría analítica fue: que a cada punto en un plano le corresponde un par ordenado de números (coordenadas cartesianas) y a cada par ordenado de números, le corresponde un punto en un plano. Descartes observó que las ecuaciones algebraicas se corresponden con figuras geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden representarse gráficamente como líneas o figuras geométricas. En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones polinómicas de primer grado y las circunferencias y el resto de cónicas como ecuaciones polinómicas de segundo grado.

VECTORES en el plano

Magnitudes escalares son aquéllas que quedan totalmente determinadas dando sólo un número real y una unidad de medida: masa, volumen, precio, temperatura, … Las magnitudes vectoriales necesitan, para quedar determinadas, no solo un número real y una unidad de medida (su intensidad), además de su intensidad se debe indicar la dirección y el sentido. Ejemplos de magnitudes vectoriales son la fuerza, velocidad, aceleración. Para representar magnitudes vectoriales utilizamos vectores.

Llamamos vector a un segmento orientado. El primero de los puntos que lo determinan se llama origen y el segundo extremo del vector. A la longitud del vector, que representa la intensidad, le llamamos módulo del vector. La recta que contiene al vector determina la dirección del mismo y la orientación sobre la recta determina su sentido origen extremo A B

Decimos que dos vectores son equipolentes o equivalentes si tienen iguales el módulo, la dirección y el sentido. Al conjunto de vectores equipolentes entre sí le llamamos vector libre. Cada vector de este conjunto es un representante del vector libre. Designamos por V2 al conjunto de vectores libres del plano. w v

Operaciones con vectores

Suma Sean v y w dos vectores libres de V2. Elegimos dos representantes de v y w que tengan el origen común y formamos con ellos un paralelogramo. Llamaremos vector suma al vector libre representado por la diagonal del paralelogramo con origen coincidente con los vectores representantes de v y w

Propiedades 1 Es una ley de composición interna 2 Asociativa 3 Conmutativa 4 Existe elemento neutro: vector nulo 0 (módulo cero) 5 Cada vector v tiene su opuesto –v. Es otro vector de igual módulo y dirección pero con sentido contrario (V2,+) es un Grupo conmutativo

Producto de un nº real por un vector Sea α un nº real y v un vector libre, definimos α·v como otro vector libre cuyo módulo es el módulo de v multiplicado por , de igual dirección que v y del mismo sentido si α>0 y de sentido contrario si α<0.

Propiedades 1 Es una ley de composición externa 2 α(β(v)) = (αβ)v 4 α(v+w) = αv+αw 5 (α+β)v=αv+βv α,β ϵ R y v,w ϵ V2 V2 es un espacio vectorial sobre el cuerpo R A V2 le llamamos plano vectorial

Dependencia lineal Sean ....... números reales y ....... vectores llamamos combinación lineal a una expresión de la forma .....

Decimos que un vector depende linealmente de otros cuando se puede expresar como una combinación lineal de los mismos Si en un conjunto de vectores alguno de ellos se puede escribir como una combinación lineal de los demás diremos que el conjunto de vectores es linealmente dependiente. De lo contrario, es decir, cuando ninguno de los vectores se pueda escribir como una combinación lineal de los demás, diremos que el conjunto de vectores es linealmente independiente

w D. L. de u y v

Base Así pues, en V2 dos vectores, u y v, de distinta dirección forman un conjunto L. I. y además cualquier vector del plano se puede escribir como una combinación lineal de ellos (sistema generador). Decimos que este conjunto es una base de V2 cada vector w se puede escribir como una C. L. de los vectores de B. Además esta C. L. es única, salvo el orden, para cada vector w = α u + β v Al par (α, β) le llamamos coordenadas de w respecto de la base B. Sea B = una base de V2

B = B = B es base Las coordenadas de w respecto de B son (-1, 2)

Propiedades Producto escalar Llamamos producto escalar de dos vectores y Propiedades 1 Si 2 Conmutativa 3 Asociativa 4 Distributiva

Interpretación geométrica

Módulo de un vector Ángulo formado por dos vectores

Bases ortonormales

Dos vectores u y v son ortogonales si su producto escalar es cero si y solo si Un vector es unitario si Una base es ortonormal si sus vectores son unitarios y ortogonales es ortonormal si y solo si = 0

Expresión analítica del producto escalar Sea una base de V2 y en la base B

Si la base es ortonormal con lo que

Ejercicios 1 Siendo Calcula: y el ángulo formado por los dos vectores Suponemos que los vectores están referidos a una base ortonormal 1 Siendo Calcula: y el ángulo formado por los dos vectores , 2 Calcula siendo

3 Halla un vector ortogonal a y de módulo 10 4 Expresa el vector como suma de dos vectores: uno de la misma dirección que y otro que sea ortogonal a

Geometría analitíca

En el conjunto de puntos del plano E2 elegimos un punto arbitrario O, que llamaremos origen, y establecemos una aplicación biyectiva f entre E2 y V2 f: E2 V2 de modo que a cada punto P le asignamos el vector OP, que llamaremos vector posición de P. Si tomamos una base ortonormal en V2 , tendremos un sistema de referencia afín

las coordenadas de v son (4; 3) luego P = (4; 3)

Coordenadas de un vector AB Si A(a1, a2) y B(b1, b2) (a1, a2) + (x1, x2) = (b1, b2) a1+ x1 = b1 a2+ x2 = b2 luego x1 = b1 - a1 x2 = b2 - a2

Punto medio de un segmento AB M (m1, m2) es punto medio de AB si y solo si Si A(a1, a2) y B(b1, b2) = =

Ejercicio Halla dos puntos que dividan el segmento AB en tres partes iguales, siendo A(0, 9) y B(12, 0)

Sean F(f1, f2) y G(g1,g2) estos puntos, se cumplirá que 3 y que 3 3(f1- 0, f2 -9) = (12 – 0, 0 – 9) 3 f1 = 12 f1 = 4 3f2 – 27 = -9 f2 = 6 F(4, 6) 3(12 - g1, 0 - g2 ) = (12 – 0, 0 – 9) 36 -12 = 3g1 g1 = 8 -3g2 = -9 g2 = 3 G(8, 3)

Ecuación de la recta

Ecuación de la recta Sea un vector de igual dirección que la recta (vector director) y un punto de la recta. Cualquier otro punto P =(x,y) de la recta habrá de verificar que (αϵR) luego (x, y) = (a1, a2) + α(v1, v2) Ec.Vectorial de la recta

Si desdoblamos esta ecuación, tenemos las ecuaciones paramétricas x = a1 + αv1 y = a2 + αv2 Si despejamos el parámetro α en ambas ecuaciones e igualamos obtenemos la ecuación continua

Quitando denominadores y trasponiendo todo al primer término tendremos la ecuación general o ímplicita Si despejamos y tendremos la ecuación explícita

Ejercicio Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto A(-3, 2) y tiene como vector director v = (2, 1) (x, y) = (-3, 2) + α(2, 1) Ec. Vectorial Ecuaciones paramétricas x = -3 + 2α y = 2 + α Ecuación continua x + 3 =2(y – 2) x – 2y + 7 = 0 Ec. general Ec. explícita

Ecuación de la recta que pasa por dos puntos A(a1, a2) y B(b1, b2) Tomamos el punto A(a1, a2) y que será un vector director de la recta, luego la ecuación es o también Observamos que si es el vector director es

A este valor le llamamos pendiente (m) de la recta y nos da su dirección

Como La ecuación de la recta sería que se conoce como ecuación punto-pendiente

Si mantenemos el punto fijo A (a1,a2) y variamos la pendiente obtenemos rodas las rectas que pasan por A. Es la ecuación de haz de rectas de vértice A

La pendiente de una recta r es el coeficiente de x en la ecuación explícita Si tenemos la ecuación general la pendiente es y el vector director es

Ejercicios Averigua si los siguientes tríos de puntos están alineados a) A(1,1) ; B(-2,0) ; C(4, 2) b) A(1,1) ; B(-2,0) ; C (6, 3) Halla la ecuación de la recta paralela a 2x – y + 6 = 0 que pasa por el punto (1, 3) Dado el triángulo de vértices A(-2, 3) ; B(-2,0) y C(4, 2). Obtén la ecuación de la mediana que pasa por A Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b)

Posición relativa de dos rectas en el plano Dadas dos rectas r y s r: Ax + By + C = 0 s: A´x + B´y + C´= 0 Si r y s coinciden (infinitos puntos comunes) Si r y s son paralelas distintas (ningún punto común) Si r y s son secantes (un punto común)

Otro modo de verlo sería resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones. Teniendo en cuenta que cada solución de una ecuación es un punto de la recta. Dos rectas son paralelas si y solo si tienen la misma pendiente (m = m´). Si m ≠ m´ las rectas son secantes.

es decir, si AA´+BB`= 0 AA´= - BB´ Dos rectas son perpendiculares si , es decir, si AA´+BB`= 0 AA´= - BB´ Las rectas perpendiculares tienen sus pendientes inversas y opuestas

De la ecuación general de la recta se obtienen directamente el vector director y un vector perpendicular, (vector normal)

Otro modo de llegar a la misma conclusión: Luego

r

Distancia entre dos puntos Sean A(a1, a2) y B(b1, b2) dos puntos del plano (b1, b2) b2 -a2 (a1, a2) b1 –a1

Ejercicios Estudia la posición relativa de los siguientes pares de rectas Halla la mediatriz del segmento de extremos A(-1, 2) y B(5, 0) Halla la distancia del punto P(5,3) a la recta 3x + 4y = 2

(5,3) d(P,r) = d(P,B) = 5 r: 3x + 4y = 2 (2,-1)

Distancia de un punto a una recta Sea r : Ax + By + C = 0 y P(p1, p2) Un vector ortogonal a la recta es z = (A, B), si queremos que sea unitario, tomamos Sea H(h1, h2) un punto cualquiera de la recta r y M(m1, m2) el punto de r que está en la perpendicular a r trazada desde P

Distancia entre dos rectas paralelas Se elige un punto cualquiera de una de ellas y se calcula la distancia de este punto a la otra recta

Ejercicios Dado el triángulo de vértices A(7,-7); B(1,-5) y C(3,1) calcula su perímetro y su superficie. Halla el circuncentro del triángulo anterior. Obtén la recta s que pasa por el punto P(1,2) y forma con la recta r: 2x + y -1 = 0, un ángulo de 45º Halla el simétrico de A(2,-1) respecto de la recta x + 3y = 0

Lugares geométricos Llamamos lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una propiedad determinada.

Ejemplos: Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos que equidistan de A(1,2) y B(2,-1) ¿Cómo se llama este L.G.? P(x,y) ϵ L.G.↔ d(P;A) = d(P;B) Es la mediatriz del segmento AB

Halla la bisectriz del ángulo que forman r y s, siendo r: 5x - 12y = 0 y s:3x - 4y + 21= 0 La bisectriz es el L.G. de los puntos del plano que equidistan de las dos rectas P(x,y) ϵ L.G.↔ d(P;r) = d(P;s) Una bisectriz es y la otra las bisectrices son siempre perpendiculares entre sí (14,8) · (64,-273) = 0

Dados los puntos A(-2,1) y B(3,4). Halla la ecuación del L. G Dados los puntos A(-2,1) y B(3,4). Halla la ecuación del L.G. de los puntos P tales que APB sea un ángulo recto. El ángulo APB será recto si y solo si Más tarde se verá que ésta es la ecuación de una circunferencia de centro y radio

Dados los puntos A(-2,1) y B(1,2). Halla la ecuación del L. G Dados los puntos A(-2,1) y B(1,2). Halla la ecuación del L.G. de los puntos del plano tales que sus distancias a A y B están en razón 2/3 P(x,y) ϵ L.G.si y solo si Es una circunferencia de centro y radio

Cambio de sistema de referencia

Traslación de ejes Sean dos sistemas de referencia ortonormales O´(a, b) en R A(x, y) en R y A´(x´, y´) en R´

Giro de ejes Ahora los sistemas de referencia tienen el mismo origen pero los vectores de la nueva base forman un ángulo α con los de la primera siendo α el ángulo que forman (i, i´) A(x, y) en R y A´(x´, y´) en R´ Ahora bien u´= (cos α, sen α) v´= (-sen α, cos α)

Estas ecuaciones nos dan las coordenadas de un punto A en cada una de las referencias, en función de las de la otra.

Traslación y giro Haremos primero la traslación y después el giro A A A traslación giro (x,y) (x´,y´) (x´´,y´´)

CÓNICAS

Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta g (generatriz) en torno a otra recta e (eje) con el que se corta en un punto V (vértice) V

Llamamos α al ángulo que forma la generatriz y el vértice y β al que forma el plano con el eje. Pueden darse tres casos: si α < β tendremos una elipse. (si β=90º una circunferencia) si α = β una parábola si α > β una hipérbola

α<β Elipse

α=β Parábola

α>β Hipérbola

Circunferencia Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a un punto fijo llamado centro es constante. P(x,y) ϵ circunferencia de centro C(a,b) y radio r si y solo si d(P;C) = r

Toda expresión de esta forma podría ser una circunferencia de centro y radio siempre que

Elipse Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos, es constante (2a). Si F(c,0) y F´(-c,0) P(x,y) ϵ elipse ↔ d(P; F) + d(P; F´) = 2a +

Dividiendo a ambos lados por

Llamando Observad que excentricidad de la elipse 0 ≤ e ≤1

Hipérbola Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, F y F´, llamados focos constante (2a). Si F(c,0) y F´(-c,0) P(x,y) ϵ hipérbola ↔ d(P; F) - d(P; F´) = ± 2a operando igual que en la elipse, llegamos a Dividiendo a ambos lados por

Llamando Observad que Si a = b decimos que la hipérbola es equilátera

excentricidad A y A1 son los vértices de la hipérbola

Si a = b decimos que la hipérbola es equilátera

A(0,a) y A1(0,-a) son los vértices de la hipérbola

Parábola Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta fija llamada directriz (t) y de un punto fijo llamado foco (F) P(x,y) ϵ parábola ↔ d(P; t) = d(P; F) Sea d(F; t) = p (parámetro de la parábola) Tomamos como directriz t la recta de ecuación y como foco F(p/2, 0)

EJERCICIOS 1 Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 5); (-1, -3) y (1, 2). 2 Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (3, 5) y es tangente a la recta 4x + 3y - 2 = 0. 3 Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (4, 2) y es concéntrica con la circunferencia de ecuación 2x2 + 2y2 -3x + 4y - 5 = 0 y 4 Halla las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia x2 + y2 + 3x - 2y - 3 = 0 trazadas desde el punto (7, 2).

Ejercicio nº1 (x+10)2+(y-7/2)2=123 (1, 5) (1,2) (-1, -3)

Ejercicio nº 2 4x + 3y - 2 = 0. (x - 3)2 + (y - 5)2 = 25 (3,5)

2x2 + 2y2 -3x + 4y - 36 = 0 Ejercicio nº 3 (4, 2)

Ejercicio nº 4 (7, 2) x2 + y2 + 3x - 2y - 3 = 0

Halla la ecuación de la parábola de directriz 4x + 3y = 0 y con foco en el punto (4,3) r: 4x + 3y = 0 F(4,3) d(P,r) = d(P, F)

Otro modo de hallar la ecuación de la parábola es considerar un sistema de referencia adecuado en el que ecuación de la parábola será y luego volver al sistema de referencia inicial El nuevo eje OX´ será la perpendicular a la directriz desde el foco -3x + 4y + C = 0 -3 · 4 + 4 · 3 + C = 0 C = 0 -3x + 4y = 0 Hallamos el punto de intersección de ambas (0,0) El nuevo origen O´´será el punto medio entre (0,0) y F O´´(2, 3/2) y el ángulo de giro α lo obtenemos por la pendiente de -3x + 4y = 0

m = tg α = 3/4 Como 0 < α < 90º Las ecuaciones del cambio de coordenadas son

Llevando estas expresiones a la ecuación reducida Llegando al mismo resultado que por el primer procedimiento

Contacto: jgcrisostomo74@gmail.com En Madrid, Abril de 2015