Propiedad Intelectual Cpech Álgebra Álgebra

Propiedad Intelectual Cpech APRENDIZAJES ESPERADOS Utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio del lenguaje algebraico inicial. Sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones algebraicas. Resolver productos notables como cuadrado de binomio, suma por su diferencia, suma de cubos, diferencia de cubos y cubo de binomio. Factorizar expresiones algebraicas identificando factor común o a través del reconocimiento de productos notables. Determinar el Mínimo Común Múltiplo y Máximo Común Divisor entre expresiones algebraicas.

Propiedad Intelectual Cpech Contenidos 1.Definiciones 1.1 Término algebraico 1.2 Expresión algebraica 2. Operaciones Algebraicas 2.1 Suma y resta 2.2 Multiplicación 2.3 Productos Notables 2.4 Factorización 1.3 Términos semejantes 2.5 División 3. Mínimo común múltiplo (m.c.m.) 4. Máximo común divisor (M.C.D.)

Propiedad Intelectual Cpech 1.1 Término algebraico Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. Consta de un “factor numérico”, denominado coeficiente y un “factor literal”. Ejemplos: 1. Definiciones 15a 3 b 5, 3w 2z ab 2 c, 5x 2 y,

Propiedad Intelectual Cpech Es la relación entre términos algebraicos, mediante la suma y/o resta. 1.2 Expresión algebraica Ejemplos: 1) 4x 2 – 3 5y 2) 8a 3 + 7xy 2 – 3x + 10y 3) 2a 3 b 2 + 5ab – 3a 2

Propiedad Intelectual Cpech Clasificación: Monomio Expresión algebraica que consta de un término algebraico. Ejemplos: Polinomio Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos. 25a 3,45x 2 z 5 9xy 2,

Propiedad Intelectual Cpech 2) Trinomio: Polinomio que consta de tres términos algebraicos. Ejemplo: 2a 3 b 2 + 5ab – 3a 2 Ejemplo: 1) Binomio: Polinomio que consta de dos términos. 4x 7 y 2 + 5xy

Propiedad Intelectual Cpech Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales. Ejemplo: - Los términosyson semejantes. - Los términosy no son semejantes. 1.3 Términos Semejantes 6a 2 b5a 2 b 2x 4 7x 2

Propiedad Intelectual Cpech 2. Operaciones algebraicas 2.1 Suma y Resta Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes. Ejemplo: ab 2 c + 3ab 2 c – 5ab 2 c =(1 + 3 – 5) ab 2 c = (4 – 5) ab 2 c = (– 1) ab 2 c = – ab 2 c

Propiedad Intelectual Cpech 3x ∙ 2xy = 2.2 Multiplicación Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí. Ejemplo: Monomio por monomio: Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Ejemplo: Monomio por polinomio: 6x 2 y 3ab 4 (5a 2 b + 2ab 2 - 4ab) = 15a 3 b 5 + 6a 2 b 6 – 12a 2 b 5

Propiedad Intelectual Cpech Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio. Ejemplo: Polinomio por Polinomio: (2x + y)(3x + 2y) = = 6x 2 + 7xy + 2y 2 6x 2 + 4xy+ 3xy+ 2y 2

Propiedad Intelectual Cpech 2.3 Productos Notables Son aquellos cuyos factores cumplen con ciertas características que permiten llegar al resultado, sin realizar todos los pasos de la multiplicación. Cuadrado de Binomio: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Propiedad Intelectual Cpech Ejemplo: (5x – 3y) 2 =(5x) 2 - 2(5x∙3y)+ (3y) 2 = 25x xy+ 9y 2

Propiedad Intelectual Cpech Cubo de binomio: (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Propiedad Intelectual Cpech Ejemplo: Aplicando la fórmula... Desarrollando potencias... Multiplicando... (3x) 3 – 3 ∙ (3x) 2 ∙2y + 3 ∙ (3x) ∙ (2y) 2 – (2y) 3 = 27x 3 – 3 ∙ (9x 2 ) ∙ 2y + 3 ∙ (3x ) ∙ (4y 2 )– 8y 3 = 27x 3 – 54x 2 y + 36xy 2 – 8y 3 (3x – 2y) 3 =

Propiedad Intelectual Cpech Suma por su diferencia: Ejemplo: Aplicando la fórmula... (a + b)∙(a – b) = a 2 – b 2 (5x + 6y)∙(5x – 6y) = (5x) 2 – (6y) 2 = 25x 2 – 36y 2

Propiedad Intelectual Cpech Producto de binomio: Esta propiedad sólo se cumple cuando los binomios tienen un término en común. Ejemplo 1: Aplicando la fórmula... Desarrollando... (x + a)∙(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab (x + 4)∙(x + 2) = = x 2 + 6x + 8 x 2 + (4 + 2)x + 4∙2

Propiedad Intelectual Cpech Ejemplo 2: Aplicando la fórmula... Desarrollando... (y - 4)∙(y + 2) = = y 2 – 2y - 8 y 2 + (-4 + 2)y - 4∙2

Propiedad Intelectual Cpech Cuadrado de trinomio: Ejemplo: Aplicando la fórmula... Desarrollando... = (2x) 2 + (3y) 2 + (4z) 2 + 2(2x∙3y) + 2(2x∙4z) + 2(3y∙4z) (2x + 3y + 4z) 2 = ? = 4x 2 + 9y z xy + 16xz + 24yz (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc

Propiedad Intelectual Cpech Consiste en escribir una expresión algebraica en forma de multiplicación. Factor común: Este es el primer caso, y se emplea para factorizar una expresión en la cual todos los términos tienen algo en común (puede ser un número, una letra, o la combinación de los dos). Ejemplo: 2 ∙ x ∙ y + 2 ∙ 2 ∙ x ∙ y ∙ y – 2 ∙ 3 ∙ x ∙ x ∙ y Al descomponer... (El factor común es : 2xy) 2.4 Factorización 2xy + 4xy 2 – 6x 2 y = = 2xy(1 + 2y – 3x)

Propiedad Intelectual Cpech Factor común compuesto: Cuando en una expresión algebraica, no todos los términos tienen un factor común, se agrupan convenientemente obteniendo factores comunes en cada grupo. Ejemplo: Agrupando... Factorizando por partes... Volvemos a factorizar, ahora por (z+w)... xz + xw + yz + yw = = (xz + xw) + (yz + yw) = x(z + w) + y(z + w) = (z + w)(x + y) Factorizar:

Propiedad Intelectual Cpech Diferencia de cubos: Ejemplo: Aplicando la fórmula... Desarrollando... a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 ) 8x 3 – 64y 3 =(2x) 3 – (4y) 3 = (2x – 4y)((2x) 2 + 2x ∙ 4y + (4y) 2 ) = (2x – 4y)(4x 2 + 8xy + 16y 2 )

Propiedad Intelectual Cpech Suma de cubos: Ejemplo: Aplicando la fórmula... Desarrollando... a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) 27x 3 + 8y 3 =(3x) 3 + (2y) 3 = (3x + 2y)((3x) 2 – 3x ∙ 2y + (2y) 2 ) = (3x + 2y)( 9x 2 – 6xy + 4y 2 )

Propiedad Intelectual Cpech Reconocer productos notables: Ejemplos: 1) Ambos términos son cuadrados perfectos, corresponde a una suma por diferencia. 2) Corresponde a un producto de binomios con un término común.. 36a 2 – 81y 2 = (6a + 9y)(6a – 9y) x 2 + 5x + 6 =(x + 2)(x + 3)

Propiedad Intelectual Cpech (x + 5)(x – 4) (x + 5)(x – 5) 2.5 División Para dividir expresiones algebraicas es necesario expresarlas mediante productos, es decir, factorizar. Ejemplos: 1) Si x 2 – 25  0, entonces Factorizando... Simplificando... = x 2 + x - 20 x (x – 4) (x – 5) = Recuerda que NO se puede realizar lo siguiente: (x – 4) (x – 5)

Propiedad Intelectual Cpech (a + b) (a – b) 1 a - b = ∙ (a + b)(a – b) : (a + b)(a + b) 1 a - b 2) Si a  b y a  - b, entonces Factorizando y simplificando Dividiendo: (a + b) 2 a 2 - b 2 : 1 a - b = (a + b) (a – b) 1 a - b : = = (a + b)

Propiedad Intelectual Cpech 3. Mínimo común múltiplo (m.c.m.) Entre monomios: Corresponde a todos los factores con su mayor exponente. Ejemplo 1: El m.c.m. entre: 3x 5 y 2, 18x 2 yz 6 y 9y 3 es: 18x 5 y 3 z 6 Ejemplo 2: El m.c.m. entre: x 4 y 2 z 3, x 2 y, xy 6 z es: x 4 y 6 z 3

Propiedad Intelectual Cpech x 2 + 2x +1x 2 + x Entre polinomios: El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Ejemplo: Determinar el m.c.m. entre: y m.c.m. : Factorizando... x(x +1) (x +1) 2 x(x +1) 2

Propiedad Intelectual Cpech 4. Máximo común divisor (M.C.D.) Entre monomios: Corresponde a los factores comunes con su menor exponente. Ejemplo 1: El M.C.D. entre: 3x 5 y 2, 18x 2 yz 6 y 9y 3 es: 3y Ejemplo 2: El M.C.D. entre: a 4 b 2, a 5 bc y a 6 b 3 c 2 es: a 4 b

Propiedad Intelectual Cpech x 2 + 2x +1x 2 + x Entre polinomios: El concepto es igual al anterior, pero en este caso se debe factorizar previamente. Ejemplo: Determinar el M.C.D. entre: y M.C.D. : Factorizando... x(x +1) (x +1) 2 (x +1)

Propiedad Intelectual Cpech EJERCICIOS:

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Propiedad Intelectual Cpech Sinteticemos en el siguiente mapa conceptual lo que hemos aprendido hoy

Propiedad Intelectual Cpech Definiciones Término algebraico Expresión algebraica Términos semejantes Monomio Binomio Trinomio Polinomio Álgebra Suma y resta Multiplicación Operaciones algebraicas Productos notables Cuadrado de binomio (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 Suma por su diferencia (a + b)∙(a – b) = a 2 – b 2 Producto de binomio con un término común (x + a)∙(x + b) = x 2 + (a + b)x + ab Suma y resta de cubos (a ± b)(a 2 ab + b 2 ) = a 3 ± b 3 Factorización De polinomios De monomios De monomio por polinomio Reconocer Productos notables Factor común