CAPÍTULO 2. Distribución de tiempos de residencia: 2.1 Introducción El tiempo de residencia es una variable que influye de manera significativa en el rendimiento de los equipos metalúrgicos. Esta variable se puede estudiar para los sólidos, líquidos y gases. El tiempo de residencia de un reactor en sistemas simples con mezcla perfecta se determina al dividir su volumen por el flujo volumétrico de alimentación correspondiente. En sistemas multifases esta simple definición no se aplica en forma directa, puesto que en un sistema heterogéneo puede existir segregación, lo cual complica el análisis, en ese caso se necesita el tiempo de residencia de cada fase.

Para calcular el tiempo de residencia de cada fase se necesita el volumen real de dicha fase al interior del equipo, como en la práctica es imposible medir directamente cada volumen, se utilizan trazadores. La determinación del tiempo de residencia en un equipo se realiza generalmente por medio de un trazador, este trazador debe poseer características físicas muy parecidas a la fase en estudio, además el trazador debe ser inerte en el medio al cual se adicionará. El trazador se inyecta en una cantidad que se conoce, y se estudia la evolución de la concentración a la salida del equipo.

Las formas de inyectar el trazador son las siguientes : Impulso : se ingresa una determinada cantidad de trazador en forma instantánea (teóricamente), lo que en la práctica se asocia a tiempos muy cortos de inyección (pulso). Pulso : se ingresa una cantidad en un tiempo finito. Escalón : se ingresa un flujo constante de un trazador con una cierta concentración. Cíclico : se ingresa el trazador y se varía su concentración o flujo en forma cíclica en el tiempo. Aleatorio : se ingresa el trazador con una concentración o flujo aleatorio en el tiempo. La forma de inyección mas común es la de tipo impulso - pulso, es la menor en términos de costo de materiales, tiempo y personal. En la Figura 3.1 se presenta las gráficas que corresponden a la evolución de las concentraciones de los trazadores luego de inyectarse, estas muestran las concentraciones de entrada y las concentraciones en la salida (respuesta).

Figura 3.1 Formas de inyección de trazadores y respuesta en la salida

3.1.2 Tipos de trazadores Entre los tipos de trazadores se tiene los siguientes grupos: Convencionales : se encuentra las sales solubles por ej. NaCl, KCl, LiCl, Li2CO3, la desventaja es que en equipos industriales se requiere grandes cantidades. Radiactivos : el tipo de trazador que se utiliza depende de la fase en estudio, los hay sólido, líquido y gaseoso. Al trazar sólidos la misma muestra se irradia, en el caso de líquido se puede utilizar Br-82 y en el caso de gas se usa Kr-85. Por todo el despliegue necesario en cuanto a instrumentación y personal especializado, este tipo de experiencia es más costosa que el uso de trazadores convencionales.

Función edad de una partícula: Se denomina edad de una partícula, sólida, o fluida, al tiempo que transcurre entre la entrada de la partícula a un estanque y el instante t de salida del mismo. En un estanque existen partículas de diversas edades, debido a que no todas ellas pasan por el estanque a la misma velocidad: Existe una función de distribución de edades de salida Se supondrá un estanque con un volumen activo V, a través del cual pasa un material con flujo estacionario Q. Se supone estado estacionario.

Función de distribución de edad Interna: Es la función de frecuencia de edades en un estanque. Se designa por I(t). Tiene unidades de fracción de edades por unidad de tiempo, de modo que la fracción de partículas con edades entre t y t+dt dentro del reactor es I(t)dt. La función I(t) se normaliza de la forma:

La fracción de partículas más joven que t 1 es: La fracción de partículas con edades superiores a que t 1 es: La edad interna promedio  I en un estanque es:

Función distribución edad de salida: Se designa por E(t) y es la frecuencia de edades de las partículas que dejan el reactor en el instante t. Fracción por unidad de tiempo, tal que la fracción de partículas que ingresaron al reactor en t=0 y lo abandonan en t y t+dt es E(t)dt. E(t) es normalizable y se representa por :

La fracción de partículas más joven que t 1 a la salida es: La fracción de partículas con edades superiores a que t 1 es: t Fracción más vieja que t Fracción más joven que t

Tiempo medio de residencia y varianza de la DTR: El tiempo medio de residencia se obtiene haciendo el siguiente balance Volumen total de fluido en el estanque a t=0 = Volumen de fluido que entra al estanque entre t y t +dt Fracción de fluido que permanece un tiempo mayor a t en el estanque Es decir:

Para estanques con comportamiento ideal (flujo pistón o mezcla perfecta): Donde  es el tiempo medio de residencia. Reemplazando, se obtiene:

Reordenando La dispersión de la distribución del tiempo de residencia está dada por la varianza  2 que se define como:

Relación entre I(T) y E(T) Para encontrar una relación entre estas funciones, se debe hacer un balance del fluido que sale del estanque entre los tiempos 0 y t, y que es reemplazado por el fluido nuevo: Volumen de partículas que entran al reactor entre 0 y t = Volumen de partículas existentes en el estanque que salió entre los tiempos 0 y t

De donde finalmente se obtiene: Ecuación que relaciona la función distribución de edad interna con la función distribución de tiempos de residencia en reactores ideales.

Función intensidad  (t)  Aquella fracción de partículas de edad t en un estanque que lo abandonará entre t y t+dt recibe el nombre de Función Intensidad, y se le designa mediante la letra . La relación entre I(t), E(t) y  (t) se puede obtener del balance: Volumen de partículas que salen del estanque entre los tiempos t y t+dt Volumen de partículas con edad t que permanecen en el estanque entre t y t +dt Fracción de partículas de edad t que saldrán en el intervalo de tiempo t y t+dt = La función intensidad entrega una proporción entre la fracción de partículas que está saliendo en el intervalo t y t+dt y la fracción de partículas que se encuentra en el interior del reactor en el mismo instante de tiempo.

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE EDADES ADIMENSIONALES  Se utiliza para simplificar el desarrollo algebraico de las expresiones utilizadas Se define como Las funciones definidas quedan:

Modelos de flujo  Mezcla perfecta: la concentración de partículas a la salida del reactor es idéntica a la del interior del reactor, en cualquier instante t E(t) Curva exponencial t/  DTR para el modelo mezcla perfecta 0 t

Modelos de flujos  Flujo Pistón: Considera la ausencia total de mezcla de la distribución en la dirección axial del reactor, produciéndose la salida de las partículas en el mismo orden de entrada. Todas la s partículas tienen el mismo tiempo de residencia t=  E(t) Flujo aproximado a pistón Flujo pistón DTR para el modelo flujo pistón 0 t

Modelos de flujos  Flujo real: Corresponde a una situación intermedia entre los dos casos hipotéticos ideales descritos anteriormente. Es el caso más común E(t) Flujo Mezcla perfecta y Flujo pistón DTR para el modelo flujo real 0 t 2

Anomalías de mezclas en sistemas reales  Zonas muertas: Son regiones dentro del equipo o zonas de muy poco contacto con el fluido en movimiento. La permanencia de las partículas en esta zona es más prolongada que el tiempo medio de residencia del conjunto: 2 a 3 veces mayor.  Cortocircuito: Zonas preferenciales o canalizaciones que son aprovechadas por ciertas partículas para cortocircuitar el reactor, reportándose directamente en el flujo de salida. Son aquellas partículas con tiempos de residencia menor a 0,1 .  Recirculación interna: Corresponde a cierta proporción del flujo que regresa o se recicla a la entrada del reactor, disminuyendo por lo tanto el volumen del equipo.

DISTRIBUCIÓN DE TIEMPOS DE RESIDENCIA EN REACTORES IDEALES MEZCLADOR PERFECTO V C F (t) C P (t) BALANCE DE MASA: Considerando la excitación de entrada como un impulso:

Ecuación que se cumple solo si la función de entrada es tipo Dirac. Ecuaciones que corresponden a la función DTR de un mezclador perfecto.

DISTRIBUCIÓN DE TIEMPOS DE RESIDENCIA EN REACTORES IDEALES FLUJO PISTÓN: En este caso todo el material pasa sin mezclarse: todo el material permanece en el reactor el mismo tiempo.

DISTRIBUCIÓN DE TIEMPOS DE RESIDENCIA EN REACTORES IDEALES MEZCLADORES PERFECTOS EN SERIE Un método para establecer una descripción empírica de una distribución de tiempo de residencia es considerar la DTR originada por un número de reactores perfectamente mezclados en serie. Para determinar el número de reactores mezclados a considerar se compara la curva DTR experimental con la obtenida considerando un número de reactores igual a m. Se considera N reactores en serie, cada uno con un DTR de E N (t), con N de 1 a N. La DTR se obtiene:

Con: