@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. CCSS1 LÍMITES DE FUNCIONES U.D. 6 * 2º BCS

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. CCSS2 APLICACIONES DE LOS LÍMITES U.D. 6.6 * 2º BCS

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS3 PREVIO 1 Sea f(x) = 4 / x Cuando el valor de x se aproxima a cero, x  0,por su derecha o por su izquierda, la gráfica tiende a juntarse con el eje de ordenadas. Por ello x=0 es una Asíntota Vertical. Cuando el valor de x aumenta o disminuye en exceso, x  ± oo, vemos que la gráfica tiende a juntarse con el eje de abscisas. Por ello la recta y=0 es una Asíntota Horizontal x y=f(x)

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS x y PREVIO 2 Sea f(x) = x / (2+x) Cuando el valor de x se aproxima a - 2, por su derecha o por su izquierda, la gráfica tiende a juntarse con la recta vertical x = - 2. Por ello x= - 2 es una Asíntota Vertical. Cuando el valor de x aumenta o disminuye en exceso, vemos que la gráfica tiende a juntarse con la recta y = 1. Por ello la recta y=1 es una Asíntota Horizontal.

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS5 PREVIO 3 Sea f(x) = x / (x 2 + 1) Cuando el valor de x aumenta o disminuye en exceso, x  ± oo, el valor de f(x) tiende a cero. La gráfica tiende a juntarse con el eje de abscisas x=0 Por ello la recta y=0 es una Asíntota Horizontal. Como se aprecia no existen asíntotas verticales ni oblicuas. Mín x y -1 -0,5 0,5 1 Máx

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS6 PROBLEMA 1 Un estudio realizado nos indica la relación que hay entre el número de p.p.m. de un alumno al estudiar mecanografía y el número de clases impartidas. La función resultante es: f(x) = [350.(x+1)] / (x+20), siendo x el número de clases a)En primer lugar averigua el número de horas de academia que debes pagar para asegurarte tener 120 ppm; para 240; para 300; y para llegar a las 350. b)Haz ahora una tabla de valores para obtener las ppm en función del número de horas de academia. No te olvides dar a la variable “x” los cuatro valores obtenidos antes. c)Analiza las ppm obtenidas en los mayores valores dados a “x”. Incluso puedes dar algún valor más, ampliar la tabla. ¿Qué pasa con dichos valores ?. d)Calcula el límite de la función cuando x  oo, o sea cuando toma valores muy grandes. Posiblemente te dé un valor finito. ¿Qué significa? e)Construye la Gráfica para visualizar mejor la función. ¿Lo ves?. Coméntalo.

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS7 RESOLUCIÓN f(x) = [350.(x+1)] / (x+20), siendo x el número de clases a)Calculamos el número de horas necesarias: 120 = [350.(x+1)] / (x+20)  120.(x+20) = 350.x x+2400 = 350.x+350  2050 = 230.x  x = 9 horas. 240 = [350.(x+1)] / (x+20)  240.(x+20) = 350.x x+4800 = 350.x+350  4450 = 110.x  x = 40 horas. 300 = [350.(x+1)] / (x+20)  300.(x+20) = 350.x x+6000 = 350.x+350  5650 = 50.x  x = 130 horas. 350 = [350.(x+1)] / (x+20)  350.(x+20) = 350.x x+7000 = 350.x+350  6650 = 0.x  x = Error (oo horas). b)Tabla de valores: Horas– oo– 153 Ppmoo17´

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS8 RESOLUCIÓN c) Análisis: Vemos que para obtener 350 ppm necesitaríamos infinitas horas. Y además, lo que es absurdo, al pretender pasar de 350 ppm el número de horas es negativo. d) ¿Significa que nunca podemos llegar a las 350 ppm?. Veamos que no, pues hay una asíntota horizontal que nos lo impide. y = lím 350 x / (x + 10) = [oo / oo] = Dividiendo todo entre x  x  oo y = lim 350 / ( /x) = 350 / 1 = 350 x  oo Y como todo límite, su valor nunca puede ser alcanzado por f(x). Horas– oo– 153 Ppmoo17´

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS Tiempo en horas de clase Nº de pulsaciones por minuto Parte de la gráfica que justifica un número de horas negativo al pretender pasar las 350 ppm.

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS10 PROBLEMA 2 En un laboratorio se ha obtenido la siguiente fórmula de un compuesto y = 75.x /(x+1) Siendo y el porcentaje de curaciones y x la cantidad en mgr de un determinado componente. a)Averigua la cantidad necesaria del componente para obtener el 25%, el 50%, el 75% y el 100% de curaciones. b)Representa gráficamente dicha función para poder visualizar el proceso y comprender algunas “rarezas” que te han debido salir en los anteriores cálculos.

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS11 RESOLUCIÓN f(x) = 75.x / (x+1), siendo x la cantidad del componente en mg a)Calculamos las cantidades necesarias: 25 = 75.x / (x+1)  25.(x+1) = 75.x 25.x+25 = 75.x  25 = 50.x  x = 0,50 mg 50 = 75.x / (x+1)  50.(x+1) = 75.x 50.x+50 = 75.x  50 = 25.x  x = 2 mg 75 = 75.x / (x+1)  75.(x+1) = 75.x 75.x+75 = 75.x  75 = 0.x  x = Error (oo mg) 100 = 75.x / (x+1)  100.(x+1) = 75.x 100.x+100 = 75.x  25.x = – 100  x = – 4 mg b)Tabla de valores: Cantidad mg.– 100,502oo– 4 % Curacionesoo

@ Angel Prieto BenitoApuntes Matemáticas 2º BCS Cantidad en mg Porcentaje de curaciones (%) Parte de la gráfica que justifica un número de mg negativo al pretender pasar del 75% Asíntota Horizontal: y = lím 75.x / (x + 1) = [oo / oo] = 75 x  oo