UNIDAD II TEORÍA DE NÚMEROS

Cociente exacto. Cociente entero. División Euclídea. Números primos y números compuestos. Máximo común divisor. Mínimo común múltiplo. Contenidos Unidad 2

Cociente Exacto

 Al dividir un número entero por otro también entero y distinto de cero, puede ocurrir que el cociente obtenido sea o no entero.  Por ejemplo: 16/2=8 11/2=5,5 Por lo tanto la división exacta exigen que el dividendo sea múltiplo del divisor.

Cociente exacto  De lo explicado anteriormente se desprende que: Cociente exacto Se llama Cociente exacto de dos números naturales D dividendo y d≠ 0 divisor, al número natural q cuyo producto por el divisor reproduce el dividendo. La operación realizada para calcular el cociente exacto, se llama división exacta y se indica por D/d o D:d.

Definiciones  Llamaremos múltiplos de un número entero “a” al producto de “a” por 1,2,3,….  Por extensión se considera múltiplo de “a”, su producto por 0.  Decimos entonces que siendo “a” un número entero y r cualquier valor entero 0,1,2,3…,la expresión general de los múltiplos es: b=a.r  Se dice que “a” es divisor de b por que cabe una cantidad exacta de veces.

Cociente Exacto Si D es el dividendo y d el divisor entonces podremos decir: que D es divisible por d O que d divide a D O que d es un submúltiplo de D O que d es un divisor de D O que D es un múltiplo de d

Cociente Exacto  Este cociente tiene ciertas propiedades: Si k  0, entonces: Llamando q al primer cociente, será D=dq, con lo que resultará multiplicando ambos miembros por q, Dk=dqk=(dk)q es decir, el segundo cociente también es n.

Cociente Exacto 2. Si d|D y d 1 |D 1,entonces se cumple que: De acuerdo con la hipótesis de partida y llamando q al primer cociente será: D=dq D 1 =d 1 q 1 lo que significa que (dd 1 )|(DD 1 )  DD 1 =dqd 1 q 1 =(dd 1 )(qq 1 )

Cociente Exacto 3. Si d|D 1,d|D 2 … d|D l entonces Probaremos para la suma pero también es válido para la resta. D 1 =dq 1 D 2 =dq 2 … D l =dq l Por lo tanto, d|(D 1 +D 2 +…+D l ) y su cociente será q 1 +q+…+q l  D 1 +D 2 +…D l =d(q 1 +q 2 +…+q l )

Cociente Entero

Cociente entero  Sean D y d dos números naturales ≠ 0. En general D no será múltiplo de d, es decir, no coincidirá con ninguno de los números: 0  d, 1  d, 2  d, qd, (q+1)d, … Pero en la sucesión de múltiplos, existirán dos consecutivos, por ejemplo, qd y (q+1)d entre los que se encontrará D.

Cociente entero Sean D, d dos números naturales, no nulos. Sea q otro número natural tal que cumpla la relación: qd <= D < (q+1) d Entonces, q y q+1 reciben los nombres de cocientes enteros por defecto y por exceso de la división de D, dividendo, por d, divisor.

Cociente entero  Ejemplo: D=13 y d=3 entonces qd < = D <(q+1)d 4  3 <= 13 <(4 + 1 )  3 Cociente entero por exceso: 5 Cociente entero por defecto: 4

Cociente entero Reciben los nombres de restos enteros por defecto y por exceso, los números r y r’ definidos por las igualdades: r= D-qd, r’=(q+1)d – D  qd+d-D= d-r Teniendo en cuenta el ejemplo anterior: D=13 y d=3 r=13-4  3 r’= (4+1)  3 – 13 r=1 r’= r’=2

Cociente entero Se denomina división entera de dos números naturales D y d ≠ 0, aquella operación aritmética cuyo objetivo es el cálculo de los cocientes y restos enteros.

Cociente Entero  Tiene las siguientes propiedades: 1. La suma de los restos enteros por defecto o por exceso es igual al divisor: r=D-qd r’=(q+1)d-D  r+r’=D-qd + qd+d-D=d

Cociente entero Ejemplo: D=19d=7 2  7 <=19< 3  7 r=D-qd  7 19 – 14 5 r’=(q+1)d-D(2+1)  r+r’=d r+r’=D-qd + qd+d-D=d

Cociente entero 2. En toda división entera por defecto, el dividendo es el producto del divisor por el cociente, más el resto. r=D-qd Se deduce que D= qd+r con r<d

Cociente entero 3. Si se multiplican dividendo y divisor por un mismo número, el cociente permanece invariable y el resto quedará multiplicado por ese número. Sea h ese número. Entonces si: D=qd+r, r<d se deduce Dh=qd  h+rh, rh<dh Ej: D=7 d=2 h=3 La propiedad también se cumple cuando se divide por h.

 En la división entera podemos definir la operación "módulo". Dados dos números D y d naturales llamaremos D MOD d al resto por defecto que resulta al dividir D entre d. Cociente entero

División Euclídea

 Hasta el momento hemos considerado números positivos ahora agregaremos negativos. Dadas D y d con d ≠ 0. Utilizando la recta numérica es posible representar d y todos sus múltiplos. Dándose dos situaciones, cuando d>0 y d<0. En ambos casos la distancia entre dos valores es |d|

División Euclídea  Si sobre la misma recta representamos D, se podrán dar dos casos según D coincida o no con múltiplos de d.  Entonces cuando será: D=qd+r, r=0, q  Z es decir D=qd y q  Z

División Euclídea  También puede darse que no sean múltiplos en cuyo caso qd es el mayor múltiplo de d menor que D, es decir el primer múltiplo de d a la izquierda de D.  Llamando r a la distancia entre qd y D tendremos: D=qd+r 0<r<|d| con q  Z Esto constituye el principio de la división euclídea.

Casos que pueden darse:  para a y b positivos, cociente q 1 y resto r 1  para a positivo y b negativo, cociente - q 1 y resto r 1  para a y b negativos, cociente q 1 y resto – r 1  para a negativo y b positivo, cociente - q 1 y resto – r 1

a y b positivos, cociente q 1 y resto r 1  Sea D= 27d=13 27=2  Será q=2 el cociente y r=1 el resto

a positivo y b negativo, cociente - q 1 y resto r 1  Sea D= 27d=-13 27=(-2)  (-13) + 1 Será q=-2 el cociente y r=1 el resto

a y b negativos, cociente q 1 y resto – r 1  Sea D= -27d= =2  (-13) + (-1) Pero r=-1 <0, lo que no es posible Por ello se corrige: -27=(2  (-13) – 13) + (13-1) -27= q= 3r=12 por lo tanto -27= 3  (-13) + 12

a negativo y b positivo, cociente - q 1 y resto – r 1  Sea D= -27d=13 -27=(-2)  13 + (-1) pero q=-2 y r=-1 <0, lo que no es posible ya que no se satisface 0<=- 1<|13|. Por ello se corrige restando y sumando |d| -27=((-2)  13 – 13) + (13-1) -27= q= (-3)r=12 por lo tanto -27= (-3) 

Números Primos y Compuestos

Dado un entero p  N, con p>1 se dice que es un número primo, si los únicos divisores que admite en N son 1 y p. En caso contrario si admite otros divisores se denominan Números Compuestos. Ej.: 2,3,5,7,11,… son primos 4,6,8,..,21,.. no son primos.

Números primos y compuestos  Los números 2,3,5,7 y 11 son primos. Los restantes comprendidos entre 2 y 11 son compuestos. 4=2  2  2|4 6=2  3  2|6 y 3|6 8=2  2  2  2|8 9=3  3  3|9 10=2  5  2|10 y 5|10

Números primos y compuestos  Una manera fácil de determinar si un número p>1 es primo: consiste en dividir el número p por los números desde 2 hasta p-1. Verificando que no admita ningún divisor.  Si p es divisible por 2 ya no hace falta comprobar el resto de los divisores.

Números primos y compuestos La sucesión de números primos es infinita. Si queremos obtener todos los números primos entre 2 y un número m un método es la Criba de Eratóstenes:

 El nro. 200, no es primo. Dado que = 14,14… y los números primos con los que hay que probar son 2, 3, 5, 7, 11, 13. Como 2 es divisor de 200 entonces 200 no es primo.  Del mismo modo comprobamos que 97es primo ya que =9,84…, los números primos menores o iguales a ese valor son 2,3,5,7 y ninguno de ellos es divisor de 97. Ejemplos:  Para demostrar si son o no primos los números 101, 97 y 200.  Los nros. primos menores o iguales a = 10,04…son 2,3,5,7. Pero 101 no es divisible por ninguno de ellos, siendo 101 primo Números primos y compuestos  Si m es un entero compuesto, m tendrá un divisor primo menor o igual a

Algoritmo números primos Inicio prueba=0, m=0, parar=0, i=0: entero Leer (m) prueba=(m mod 2) si (prueba <>0) entonces i=3 fin si // sqrt es función matemática que calcula raíz cuadrada// parar= sqrt(m) mientras (prueba<>0 ^ (i <=parar)) hacer prueba= (m mod i) si (prueba <>0) entonces i=i+2 fin si fin mientras si (prueba=0) entonces imprimir (“El número no es primo”) sino imprimir (“El número es primo”) fin si fin

Números primos y compuestos Por lo tanto: m=p 1. p 2. p 3 ….p m o si p i se repite varias veces e i Todo número compuesto m  N puede expresarse mediante el producto de sus factores primos. La descomposición factorial de un número compuesto m  N en factores primos es única.

Números primos y compuestos  Si queremos encontrar los factores primos de m se divide por los posibles primos comenzando por los más pequeños hasta obtener la unidad =2 3  3  77007=7 2  11  13

Máximo Común Divisor

Máximo común divisor  Divisor: Se llama divisor de un número a aquel que cabe en él una cantidad de veces exacta.  Dados varios números, sus divisores comunes no podrán superar al menor de ellos.  El mayor de dichos divisores será el máximo común divisor de los números dados.

Máximo común divisor  El mayor de dichos divisores será el máximo común divisor de los números dados.  Si a= 15 y b=20, se verifica que 5|15 y 5|20. Por lo tanto 5 es un divisor común de 15 y 20.  Con los datos se verifica que 2 no divide a 15 pero si a 20, por lo que 2 no es divisor común de 15 y 20.

Máximo común divisor Los números 12 y 36 tienen varios divisores comunes 2|12 y 2|36; 3|12 y 3|36. Sin embargo 12|12 y 12|36, siendo este el último y mayor de todos los divisores comunes. Por lo tanto, mcd(12,36)=12. El único divisor de 10 y 13 es 1, es decir, mcd(10,13)=1.

Máximo común divisor  El concepto anterior puede extenderse a más de dos números:  Los números enteros 36, 75, 251 son primos entre sí porque no poseen divisor común excepto el 1, es decir, mcd(36,75,251)=1  Sin embargo, no son primos dos a dos ya que por ejemplo mcd(36,75)=3

Máximo común divisor ¿Cómo obtener el mcd?  Una manera es empleando el teorema que dice: que el máximo común divisor de varios números es el producto de los factores primos comunes a todos ellos, tomando cada uno con el menor de los exponentes con los que figura.  Por ejemplo: para encontrar el mcd(300,420,660) primero lo descomponemos a cada uno en sus factores primos:  300=  420= mcd(300,420,660)= =60  660=

Máximo común divisor  Otra manera de encontrar el mcd es mediante el algoritmo de Euclides que dice:  Sean a y b dos números enteros no nulos, con a>b, los divisores comunes de ambos son los comunes al menor de ellos y al resto r, por defecto o exceso de la división de ambos.  Los enteros a y b se suponen positivos y se definen q i y r i entonces: a= bq 1 + r 1 con 0< r 1 <b b= r 1 q 2 + r 2 con 0< r 2 < r 1 r 1 = r 2 q 3 + r 3 con 0< r 3 < r 2 …………… r n-3 = r n-2 q n-1 + r n-1 con 0< r n-1 < r n-2 r n-2 = r n-1 q n + r n con 0< r n < r n-1 r n-1 = r n q n Siendo r n el último resto no nulo. Ese valor será el mcd(a,b)

Ejemplo Obtención mcd Supongamos que deseamos calcular el mcd(250,111). En este caso tendríamos: 250= 111  = 28  = 27  = 1  mcd(250,111)=1 lo que indica que los números dados son primos relativos.

Máximo común divisor  De este algoritmo también hay una disposición esquemática: q1q1 q2q2 …….. qnqn q n-1 abr1r1 …….. r n-1 rnrn r1r1 r2r2 r3r3 0

Máximo común divisor  Ahora veamos con el mismo ejemplo anterior siendo a=250 y b= mcd(250,111)=1

Máximo común divisor Algoritmo Cálculo mcd Inicio a,b,r,aux: entera Leer (a,b) Si (a<b) entonces aux=a a=b b=aux fin si mientras (b<>0) hacer r = a mod b // mod= % resto división entera // a =b b=r fin mientras imprimir (“El mcd es:”, a) fin

Máximo común divisor Propiedades mcd  Cualquier divisor común de a y b es un divisor de mcd(a,b) Ej.: sea a=18 y b=12 entonces mcd(18,12) = 2. 3 = 6 Podemos decir que 2 es divisor de 6 y que 3 es divisor de 6  Considerando los números enteros Z y dado que los divisores de a también son de –a, se cumplirá que mcd(a,b) = mcd(-a,b)  Se verifica que mcd(a,b) = mcd(a-b,b) = mcd(a+b,b)  Si mcd(a,b)=d, entonces mcd(ah, bh)=dh  Si mcd(a,b)=d y a y b son múltiplos de k, entonces mcd(a/k, b/k)=d/k  Si mcd(a,b)=d entonces mcd (a/d, b/d)=1

Mínimo común múltiplo