COLORACIÓN DE GRAFOS Y POLINOMIO CROMÁTICO PAOLA FABRES MARÍA JULIA SEGURA

DEFINICIÓN Si G=(V,E) es un grafo no dirigido, una coloración propia de G ocurre cuando coloreamos los vértices de G de modo que si {a,b} es una arista en G, entonces a y b tienen diferentes colores. (Por lo tanto los vértices adyacentes tienen colores diferentes). El número mínimo de colores necesarios para una coloración propia de G es el número cromático y se escribe X(G)

EJEMPLO Para el grafo G, partimos del vértice a y junto a cada vértice escribimos el número de un color necesario para una coloración propia de los vértices de G. Al pasar al vértice b, el 2 indica que es necesario un segundo color, puesto que los vértices a y b son adyacentes. Seguimos en orden alfabético hasta f y vemos que necesitamos dos colores para una coloración propia de {a,b,c,d,e,f}. Para el vértice g y h necesitamos un color distinto.

Así, este método de etiquetado de una coloración secuencial nos proporciona una coloración propia de G, por lo que X(G) ≤ 3. Como K 3 es un subgrafo de G, inducido por a,b,g, tenemos que X(G)≥3, por lo que X(G)=3

¿Cuál es la coloración propia de G?

El subgrafo {b,f,h,i} de G es isomorfo a K4, por lo que X(G)>X(K4)=4 Por lo tanto si podemos determinar una coloración propia de 4 colores, entonces sabremos que X(G)=4.

Método para determinar X(G) Sea G un grafo no dirigido y sea λ el número de colores disponibles para la coloración propia de de los vértices de G. Nuestro objetivo es encontrar una función polinomial P(G; λ ), llamada polinomio cromático de G, que nos indique el número de coloraciones propias diferentes de los vértices de G, usando de máximo de λ colores.

o Si G=(V,E) es tal que l V l=n y A=0, entonces G tiene n puntos aislados y por regla del producto; P(G, λ )= λ n o Si G=Kn, entonces debemos disponer de al menos n colores para obtener una coloración propia de G. Entonces por regla de producto: P(G; λ )= λ. (λ-1).(λ-2)…(λ-n+1) Si P(G, λ )<0 no existe coloración propia para Kn Si P(G, λ )>0 por primera vez cuando λ =n=X(G)

o Para cada camino simple, como los de la figura, si procedemos alfabéticamente veremos que: P(G 1, λ )= λ.( λ -1) 3 y P(G 2, λ )= λ.( λ -1) 4 En general P(G, λ )= λ ( λ -1) n-1

TEOREMA DE DESCOMPOSICIÓN PARA POLINOMIOS CROMÁTICOS (11.10) Sea G=(V,E) un grafo no dirigido. Para e={a,b} Є E, sea G e el subgrafo que se obtiene al eliminar e de G, sin quitar los vértices a y b, es decir, G e =G-e. A partir de G e obtenemos un segundo subgrafo de G, identificando los vértices a y b. Este segundo subgrafo se denota G´e. Si G(V,E) es un grafo conexo y e Є E, entonces: P (Ge, λ)=P (G; λ)+P (G´e, λ)

Aplicación del teorema Al calcular polinomios cromáticos, colocaremos corchetes en torno de un grafo para indicar su polinomio cromático. Incógnita Camino Simple K3K3

P (Ge, λ )=P (G; λ )+P (G´e, λ ) ó P(G, λ )=P(Ge, λ ) – P(G,´e λ ) P(G, λ ) = λ.( λ -1) 3 – λ.( λ -1).( λ -2) P(G, λ ) = λ.( λ – 1). (( λ -1) 2 - ( λ -2)) P(G, λ ) = ( λ 2 – λ ).( λ λ +1 – λ +2) P(G, λ ) =( λ 2 – λ ).( λ λ +3) P(G, λ ) = λ 4 -4 λ 3 +6 λ 2 -3 λ P(G,1) = =0 No hay coloración propia de G P(G,2) = =2>0 Entonces sabemos que X(G)=2

TEOREMA Para cualquier grafo G, el término constante en P(G, λ) es 0 Demostración: Para cualquier grafo G, X(G)>0, puesto que V ≠ 0. Si P(G, λ ) tiene término constante(independiente) a, entonces P(G,0)=a ≠0. Esto implica que hay a coloraciones con 0 colores, lo que es contradictorio.

TEOREMA Sea G=(V,E) con lEl>0. Entonces, la suma de los coeficientes de P(G, λ) es 0. TEOREMA Sea G=(V,E), con a, b Є V pero {a,b}=e no pertenece a E. Escribimos G + e para el grafo que se obtiene al añadir a G la arista e={a,b}. Al identificar los vértices a y b, obtenemos el subgrafo G ++ e de G. En estas circunstancias se cumple que: P(G + e, λ)=P(G, λ) – P(G ++ e, λ)

Apliquemos ahora el teorema P(G+e, λ)=P(G, λ) – P(G++e, λ) o P(G, λ) = P(G+e, λ) + P(G++e, λ) P(G, λ )= λ.( λ -1).( λ -2). ( λ -3) + λ.( λ -1).( λ -2) P(G, λ)= λ.(λ-1).(λ-2).((λ-3)+1) P(G, λ)=λ.(λ-1).(λ-2) 2 P(G, 1)=0 P(G,2)=0 P(G,3)=6 Por lo que X(G)=3. Además disponemos de 6 colores, por lo que podemos obtener 6(5)(4) 2 =480 formas de coloraciones propias de G.

TEOREMA Sea G un grafo no dirigido con subgrafos G 1, G 2. Si G=G 1 U G 2 y G 1 n G 2 =Kn, para algún n Є Z +, entonces: P (G, λ)=[P (G 1, λ). P (G 2, λ)]/ λ n

Aplicación del teorema P(G, λ )= [λ.(λ-1).(λ-2).(λ-3).λ.(λ-1).(λ-2)] / λ (2) P(G, λ )= [λ 2.(λ-1) 2.(λ-2) 2.(λ-3)] / λ.(λ-1) P(G, λ ) = λ.(λ-1).(λ-2) 2.(λ-3)

Así, P(G, λ ) = λ.(λ-1).(λ-2) 2.(λ-3) P(G, 1)= 0 P(G, 2)= 0 P(G, 3)= 0 P(G, 4)=48 Posible coloración propia de G, con cuatro colores.

Aplicaciones de la coloración de Grafos: Coloración de Mapas:

POSIBLE COLORACIÓN DE ARGENTINA