@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. CCSS1 LÍMITES DE FUNCIONES U.D. 6 * 2º BCS

@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bach. CCSS2 LÍMITES EN UN PUNTO U.D. 6.3 * 2º BCS

DEFINICIÓN DE LÍMITE Llamamos LÍMITE de una función f en un punto x=a al valor al que se aproximan las imágenes de la función cuando x se aproxima al valor de a. lím f(x) = b x  a EJEMPLO: lím x 2 = 2 2 = 4 x  2 El valor de x se aproxima a 2:1’9,1’99,1’999, … El valor de f(x) se aproxima a 4:3’96,3’98,3’99, … El valor de x se aproxima a 2:2’1,2,01,2,001, … El valor de f(x) se aproxima a 4:4’41,4’04,4’004, …

En un límite vemos que x puede tender al valor de “a” tomando valores tanto por su derecha como por su izquierda. Por ejemplo, puede tender a 2 tomando las siguientes sucesiones de números: 2’1, 2’01, 2’001,2’0001, 2’00001, … 1’9, 1’99, 1’999, 1’9999, 1’99999, … Se hace preciso distinguir ambos límites. L IMITE POR LA DERECHA lím f(x) = L 1 x  x o + LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = L 2 x  x o -- U na función f tiene límite en un punto x o si sus límites laterales en dicho punto existen y coinciden. LÍMITES LATERALES

Ejemplo_1 x – 4 Lím x  1 x – 2 xy ,992,9802 0,9992, ? 1,0013,0020 1,013,0202 Como se puede intuir, el límite de la función cuando x  1 es 3 Ejemplo_2 x – 3 Lím x  3 x 2 – 9 xy ,9990,1667 2,99990, ? 3,00010, ,0010,1667 Como se puede intuir, el límite de la función cuando x  3 es 1/6

Ejemplo_3 En la gráfica de la función vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 8 x  2 + LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 4 x  x 8484 Ejemplo_4 En la gráfica de la función vemos que: LIMITE POR LA DERECHA lím f(x) = 1 x  0 + LIMITE POR LA IZQUIERDA lím f(x) = 1 x  x y1y1

VALOR DEL LÍMITE Y VALOR DE LA FUNCIÓN EJEMPLO 1 Sea la función de la izquierda. Si calculamos el límite en x=2 tenemos: Lím f(x) = Lím f(x) = 1 x  2+ x  2- Sin embargo en x=2 la función no existe, pues su dominio es: Dom f(x) = R – {2} En x=2 la función presenta límite y vale 1, aunque no existe valor de la función. 1 2 x 2 – 3.x + 2 f(x) = x – 2

EJEMPLO 2 Sea la función troceada de la izquierda: Si calculamos el límite en x=1 tenemos: Lím f(x) = 1 x  1+ Lím f(x) = 2 x  1- Al no ser iguales los límites laterales, en x = 1 la función no tiene límite. Sin embargo en x=1 la función existe y vale 2: f(1) = 1+1 = 2 En x=1 la función existe, pero no presenta límite y=x+1 y=1 x+1, si x ≤ 1 f(x) = 1, si x > 1

EJEMPLO 3 Sea la función de la derecha: Si calculamos el límite en x=1 tenemos: Lím f(x) = 4 – 1 2 = 3 x  1+ Lím f(x) = 4 – 1 2 = 3 x  1- Al ser iguales los límites laterales, en x = 1 la función tiene límite y vale 3. Sin embargo en x=1 la función existe y vale 0: f(1) = 0 En x=1 la función existe, y el límite también, pero sus valores son distintos. f(1) <> lím f(x) x  – x 2, si x<>1 y = 0, si x=1

EJEMPLO 4 Sea la función de la derecha: La podemos escribir también así: (– 2 + x)/(x – 2 ) = 1, si x >2 f(x) = (2 – x)/(x – 2 ) = – 1, si x <2 Si calculamos el límite en x =2 tenemos: Lím f(x) = (– 2+ 2+)/(2+ – 2 ) = 1 x  2+ Lím f(x) = (– 2+2-)/(2- – 2 ) = – x  2- Al no ser iguales los límites laterales, en x = 2 la función no tiene límite. Tampoco existe en x=2, pues no forma parte del dominio de la función |2 – x| f(x) = x – 2

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 Una sucesión ( o una función ) que tiene límite se llama CONVERGENTE. Una sucesión ( o una función ) que no tiene límite se llama DIVERGENTE. Nota: No se considera válido como límite el +/- oo. Una sucesión ( o una función ) que presenta dos límites diferentes se llama OSCILANTE. EJEMPLOS: lím (3.x 2 +1) / x 2 = 3  FUNCIÓN CONVERGENTE EN EL INFINITO x  oo lím e 2 / (x-1) = e 2 / 0 = e 00 = oo  FUNCIÓN DIVERGENTE EN x=1 x  1 lím (- 1) n = +/- 1  FUNCIÓN OSCILANTE, donde Dom f(x) = N n  oo CONVERGENCIA DE FUNCIONES

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.12 PROPIEDADES OPERATIVAS a) Si existe límite, éste debe ser único. b) El límite de una suma/diferencia de funciones es la suma/diferencia de los límites: lím (f(x) +/- g(x)) = lím f(x) +/- lím g(x) x  a x  a x  a c) El límite de un producto de funciones es el producto de los límites: lím (f(x). g(x)) = lím f(x). lím g(x) x  a x  a x  a d) El límite de una división de funciones es la división de los límites: lím (f(x) / g(x)) = lím f(x) / lím g(x) x  a x  a x  a e) El límite de una potencia es la potencia de los limites : g(x) lím g(x) lím (f(x)) = (lím f(x ) x  a x  a x  a f) El límite del logaritmo es el logaritmo del límite: lím Log f(x) = Log lím f(x) x  a b b x  a

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.13 Ejemplos Para hallar el límite de una función f(x) en un punto, x=a, se sustituye la variable de la función por el valor al que tiende, a, obteniendo f(a). 1.- lím (x 3 – 3x) = 2 3 – 3·2 = 8 – 6 = 2 x  lím (x 2 – 9) / x = (3 2 – 9) / 3 = 0 / 3 = 0 x  (x 2 – 1) ((– 1) 2 – 1) 0 lím (x 2 + 1) = ((– 1) 2 + 1) = 2 = 1 x  – lím Ln (x – e) = Ln lím (x – e) = ln (2·e – e) = ln e = 1 x  2·e x  2·e

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.14 Ejemplos A la izquierda de x=0: lím (x + 1) = = 1 x  0 A la derecha de x=0: lím (– x) = – 0 = 0 x  0 Los límites laterales no coinciden. La función no tiene límite en x=0 1 0 x + 1, si x≤0 y = – x, si x>0 A la izquierda de x=0: lím (– x 2 + 1) = = 1 x  0 A la derecha de x=0: lím (– x + 1) = – = 1 x  0 Los límites laterales coinciden. El límite, en x=0, vale – x 2 + 1, si x<0 y = – x + 1, si x>0

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.15 Ejemplos A la izquierda de x=2: lím ( – 1) = – 1 x  2 A la derecha de x=2: lím (– x + 3) = – = 1 x  2 Los límites laterales no coinciden. La función no tiene límite en x= x 2 – 2, si x<0 y = log (x – 1), si x>0 A la izquierda de x=1: lím (x 2 – 2 ) = 1 – 2 = – 1 x  1 A la derecha de x=1: lím log (x – 1) = log 0 = – oo x  1 No hay lím a la derecha. No hay límite en x=1. – 1, si x<0 y = – x + 1, si x>0

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S. 16 Toda función de la forma: F(x) = P(x) / Q(x) Donde P(x) y Q(x) son polinomios. Presenta n valores de x en los que no existe la función por ser ceros o raíces de Q(x). En dichos puntos la función tiende a +/- oo, no existiendo los límites laterales. En dichos puntos la función presenta una asíntota vertical. Ejemplo F(x) = – 1 / x Límites laterales: – 1 – 1 lím ‑‑‑‑‑ = = – oo x  0+ x +0 pues x vale algo más de 0. – 1 – 1 lím ‑‑‑‑‑ = = + oo x  0- x - 0 pues x vale algo menos de 0. LIMITES INFINITOS EN UN PUNTO 0 3 x Y1Y1

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.17 Si representamos la función: y = x / ( x – 3) vemos que cuando x vale 3, el valor de y es oo. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x o = 3. No es lo mismo el trazo a la derecha que a la izquierda de x o = 3. Límites laterales: x 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = + oo x  3+ x – 3 +0 pues x vale algo más de 3. x 3 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = – oo x  3- x – pues x vale algo menos de 3. Ejemplos 0 3 x Y1Y1

@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.18 Si representamos la función: y = x / ( x 2 - 4) vemos que cuando x vale 2 ó -2, el valor de y es oo. Decimos que presenta una asíntota vertical en el punto x 1 = 2 y otra en x 2 = - 2. x 2 lím ‑ -- ‑‑‑‑‑‑‑ = = + oo x  2+ x pues x vale algo más de 2 y x 2 > 4 x 2 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = - oo x  2- x pues x vale algo menos de 2 y x 2 < 4 x - 2 lím ‑ -- ‑‑‑‑‑‑‑ = = + oo x  - 2+ x pues x vale algo más de – 2 y x 2 < 4 x - 2 lím ‑‑‑‑‑‑‑‑ = = - oo x  - 2- x pues x vale algo menos de – 2 y x 2 > x Y