Resolución de problemas mediante el método de Gauss Dos amigos invierten 20 000 € cada uno. El primero coloca una cantidad A al 4% de interés; una cantidad B, al 5%, y el resto, al 6%, ganando 1 050 € de intereses. El otro invierte la misma cantidad A al 5%; la B, al 6%, y el resto, al 4%, ganando 950 €. Determina las cantidades A, B y C.
Resolución de problemas mediante el método de Gauss Cantidad C z Cantidad B y Cantidad A x
Resolución de problemas mediante el método de Gauss Por tanto, traducimos los datos del problema al sistema: x + y + z = 20000 0,04x + 0,05y+0,06z=1050 0,05x+0,06y+0,04z=950
Resolución de problemas mediante el método de Gauss El sistema obtenido: x + y + z = 20000 0,05x + 0,06y + 0,04z = 1050 0,05x + 0,06y + 0,04z =950 Se puede suprimir los decimales multiplicando por 100 las últimas dos ecuaciones, para que nos resulte más sencillo trabajar: x + y + z = 20000 4x + 5y + 6z = 105000 5x + 6y + 4z = 95000
Resolución de problemas mediante el método de Gauss Cogemos los coeficientes de las ecuaciones y construimos la matriz: 1 1 1 20000 4 5 6 105000 5 6 4 95000 x + y + z = 20000 4x + 5y + 6z = 105000 5x + 6y + 4z = 95000
Resolución de problemas mediante el método de Gauss 1 1 1 20000 4 5 6 105000 5 6 4 95000 1ª 2ª - 4·1ª 3ª - 5·1ª 1 1 1 20000 0 -1 2 25000 0 1 -1 -5000 1ª 2ª -3ª + 2ª 1 1 1 20000 0 1 2 25000 0 0 3 30000
Resolución de problemas mediante el método de Gauss De aquí volvemos a traducir al sistema: 1 1 1 20000 0 1 2 25000 0 0 3 30000 x + y + z = 20000 y +2z =25000 3z = 30000
Resolución de problemas mediante el método de Gauss Empezando por la última de las ecuaciones, resolvemos. x + y + z = 20000 y + 2z = 25000 3z = 30000 (1ª) (2ª) (3ª) (3ª) 3z = 30000 z = 30000/3 z = 10000 (2ª) y = 25000 -2·10000 y=5000 (1ª) x = 20000 - y - z = 20000-5000 -10000= 5000
Resolución de problemas mediante el método de Gauss Solución del sistema: x = 5000 y = 5000 z = 10000 Luego la cantidad A es 5000 €, la B es 5000 € y la C es 10000 €.