Medias y varianza de combinaciones lineales de variables aleatorias Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC

Medias y varianza de combinaciones lineales de variables aleatorias Estas propiedades nos permitirán ocuparnos de las esperanzas matemáticas en términos de otros parámetros que ya conocemos o que ya calculamos con facilidad.

Teorema Si a y b son constantes, entonces, 𝐸 𝑎𝑋+𝑏 =𝑎𝐸 𝑋 +𝑏

Ejemplo 1 Suponga que el numero de automóviles X que pasa por un local de lavado de autos entre las 4:00 p.m. y las 5:00 p.m. de cualquier viernes soleado tiene la siguiente distribución de probabilidad: Sea g(X) = 2X – 1 la cantidad de dinero en dólares que el administrador paga al operador. Calcule las ganancias esperadas del operador en este periodo específico. x 4 5 6 7 8 9 P(X=x) 1/12 1/4 1/6

Ejemplo 1 Solución: 𝐸 𝑔(𝑋) =𝐸 2𝑋−1 =𝐸 2𝑋 −1 𝐸 𝑔(𝑋) =2𝐸 𝑋 −1 Entonces 𝐸 𝑋 = 𝑥 𝑥𝑓 𝑥 𝐸 𝑋 =4 1 12 +5 1 12 +6 1 4 +7 1 4 +8 1 6 +9 1 6 𝐸 𝑋 = 41 6 x 4 5 6 7 8 9 P(X=x) 1/12 1/4 1/6

Ejemplo 1 Solución: Finalmente como 𝐸 𝑋 = 41 6 y deseando determinar 𝐸 𝑔(𝑋) =2𝐸 𝑋 −1 Reemplazamos 𝐸 𝑔(𝑋) =2 41 6 −1 𝐸 𝑔(𝑋) =$12,67

Ejemplo 2 Sea X una variable aleatoria con función de densidad 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 3 , 2>𝑥≻−1 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Calcule el valor esperado de g(X) = 4X + 3.

Ejemplo 2 Solución: 𝐸 𝑔(𝑋) =𝐸 4𝑋+3 =𝐸 4𝑋 +3 𝐸 𝑔(𝑋) =4𝐸 𝑋 +3 Entonces μ=𝐸 𝑋 = −∞ ∞ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝐸 𝑋 = −1 2 𝑥 𝑥 2 3 𝑑𝑥

Ejemplo 2 Solución: Reemplazando de: 𝐸 𝑔(𝑋) =4𝐸 𝑋 +3 𝐸 𝑋 = 𝑥 4 12 2 −1 𝐸 𝑋 = 2 4 12 − −1 4 12 = 15 12 = 5 4 Reemplazando de: 𝐸 𝑔(𝑋) =4𝐸 𝑋 +3 𝐸 𝑔(𝑋) =4 5 4 +3=8

Teorema El valor esperado de la suma o diferencia de dos o mas funciones de una variable aleatoria X es la suma o diferencia de los valores esperados de las funciones. Es decir, 𝐸 𝑔(𝑋)±ℎ(𝑋) =𝐸 𝑔(𝑋) ±𝐸 ℎ(𝑋)

Ejemplo 3 Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad: Calcule el valor esperado de Y = (X – 1)2. x 1 2 3 P(X=x) 1/3 1/2 1/6

Ejemplo 3 Solución: Conocemos que: 𝐸 𝑔(𝑋)±ℎ(𝑋) =𝐸 𝑔(𝑋) ±𝐸 ℎ(𝑋) Y se requiere el valor esperado de : Y = (X – 1)2 Ahora: 𝐸 𝑋−1 2 =𝐸 𝑋2−2𝑋+1 Entonces 𝐸 𝑋−1 2 =𝐸 𝑋2 −2𝐸[𝑋]+1

Ejemplo 3 Solución: Como se sabe que 𝐸 𝑋 = 𝑥 𝑥𝑓 𝑥 𝐸 𝑋 = 𝑥 𝑥𝑓 𝑥 𝐸 𝑋 =0 1 3 +1 1 2 +2 0 +3 1 6 =1 𝐸 𝑋 =02 1 3 +12 1 2 +22 0 +32 1 6 =2 x 1 2 3 P(X=x) 1/3 1/2 1/6

Ejemplo 3 Solución: De la ecuación: Reemplazamos: Nos queda: 𝐸 𝑋−1 2 =𝐸 𝑋2 −2𝐸[𝑋]+1 Reemplazamos: 𝐸 𝑋−1 2 =2−2 1 +1 Nos queda: 𝐸 𝑋−1 2 =1

Ejemplo 4 La demanda semanal de cierta bebida en una cadena de tiendas de abarrotes, en miles de litros, es una variable aleatoria continua g(X) = X 2 + X – 2, donde X tiene la siguiente función de densidad 𝑓 𝑥 = 2(𝑥−1), 2>𝑥≻1 0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜 Calcule el valor esperado para la demanda semanal de la bebida.

Ejemplo 4 Solución: Conocemos que: 𝐸 𝑔(𝑋)±ℎ(𝑋) =𝐸 𝑔(𝑋) ±𝐸 ℎ(𝑋) Y se requiere el valor esperado de : g(X) = X2+X − 2 Ahora: 𝐸 X2+X−2 =𝐸 𝑋2 +𝐸 𝑋 −2 Entonces 𝐸 g(X) =𝐸 𝑋2 +𝐸 𝑋 −2

Ejemplo 2 Solución: 𝐷𝑜𝑛𝑑𝑒: 𝐸 𝑋 = −∞ ∞ 𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝐸 𝑋2 = 1 2 𝑥2𝑓(𝑥)𝑑𝑥

Ejemplo 2 Solución: 𝐸 𝑋 = 1 2 2𝑥 𝑥−1 𝑑𝑥 𝐸 𝑋 =2 −1 2 (𝑥2−𝑥)𝑑𝑥= 2 𝑥 3 3 − 𝑥 2 2 1 2 𝐸 𝑋 = 2 2 3 3 − 2 2 2 − 1 3 3 − 1 2 2

Ejemplo 2 Solución: 𝐸 𝑋 = 2 8 3 − 4 2 − 1 3 − 1 2 𝐸 𝑋 = 2 16−12 6 − 2−3 6 𝐸 𝑋 = 2 4 6 − −1 6 = 5 3

Ejemplo 2 Solución: 𝐸 𝑋2 = 1 2 2𝑥2 𝑥−1 𝑑𝑥 𝐸 𝑋2 =2 −1 2 (𝑥3−𝑥2)𝑑𝑥= 2 𝑥 4 4 − 𝑥 3 3 1 2 𝐸 𝑋2 = 2 2 4 4 − 2 3 3 − 1 4 4 − 1 3 3

Ejemplo 2 Solución: 𝐸 𝑋2 = 2 16 4 − 8 3 − 1 4 − 1 3 𝐸 𝑋2 = 2 4 3 − − 1 12 =2 4 3 + 1 12 𝐸 𝑋2 = 2 16+1 12 = 17 6

Ejemplo 4 Reemplazando: De: 𝐸 g(X) =𝐸 𝑋2 +𝐸 𝑋 −2 𝐸 g(X) = 17 6 + 5 3 −2= 17+10−12 6 = 15 6 𝐸 g(X) = 5 2

Teorema El valor esperado de la suma o diferencia de dos o más funciones de las variables aleatorias X y Y es la suma o diferencia de los valores esperados de las funciones. Es decir, 𝐸 𝑔(𝑋,𝑌)±ℎ(𝑋,𝑌) =𝐸 𝑔(𝑋,𝑌) ±𝐸 ℎ(𝑋,𝑌)

Corolario Si establecemos que g(X, Y) = X y h(X, Y) = Y, vemos que 𝐸 𝑋±𝑌 =𝐸 𝑋 ±𝐸 𝑌

Teorema Sean X y Y dos variables aleatorias independientes. Entonces, 𝐸 𝑋𝑌 =𝐸 𝑋 𝐸 𝑌

Corolario Sean X y Y dos variables aleatorias independientes. Entonces, σXY = 0.

Teorema Si X y Y son variables aleatorias con distribución de probabilidad conjunta f (x, y), y a, b y c son constantes, entonces 𝜎 aX +bY +c 2 = 𝑎2𝜎 X 2 +𝑏2𝜎 Y 2 + 2𝑎𝑏𝜎 XY

Ejemplo 5 Si X y Y son variables aleatorias con varianzas σ2 X = 2 y σ2 Y = 4 y covarianza σXY = –2, calcule la varianza de la variable aleatoria Z = 3X – 4Y + 8

Ejemplo 5 Solución: por teorema sabemos que 𝜎 aX +bY +c 2 = 𝑎2𝜎 X 2 +𝑏2𝜎 Y 2 + 2𝑎𝑏𝜎 XY Y del problema se requiere 𝜎 3X −4Y +8 2 Entonces: 𝜎 aX +bY +c 2 = 32𝜎 X 2 +42𝜎 Y 2 + 2(3)(−4)𝜎 XY 𝜎 aX +bY +c 2 =9 2 +16 4 −24 −2 =130

Gracias