UNIDAD 1 OPERACIONES CON EXPRESIONES RACIONALES

1.2 Factorización

Definición de factorización Factorizar una expresión algebraica es el proceso de encontrar expresiones algebraicas las cuales, cuando se multiplican, resultan en la expresión algebraica dada. En otras palabras, factorizar una expresión algebraica significa escribirla como un producto de otras expresiones.

Formas importantes de factorización. El éxito en factorizar una expresión algebraica depende, por tanto, de la habilidad para reconocer que la expresión algebraica pertenece a un tipo particular de producto y que tiene factores de una forma definida.

Factor común a) Factor común monomio. –Fórmula general : ab + ac = a (b+c). Atención: Tener cuidado al obtener factores comunes, ya que sólo se puede remover factores que sean comunes a todos los términos.

b) Factor común polinomio. –Fórmula general: a (b + c) + d (b + c) = (b + c) (a + d)

c) Factor común por agrupación. –Fórmula general: Para factorizar por agrupación, obtener los factores comunes de grupos de términos. Este procedimiento se ilustra con los siguientes ejemplos.

Ejemplos de F.C. por agrupación

Diferencia de dos cuadrados. Fórmula general: a 2 - b 2 = (a +b) (a - b)  Sabemos que (a +b) (a - b) = a 2 - b 2. Por tanto la diferencia de dos cuadrados será factorizada como el producto de la suma y diferencia de dos términos. A.I Ver ejemplos del libro de Baldor, pág. 152 y resolver en tu cuaderno el ejercicio 93, del 1 al 10 y del 23 al 27.

Suma o diferencia de dos cubos Fórmula general: a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2 ). a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2 ). A.I Ver ejemplos del libro de Baldor pág. 167 y 168. Resolver los 1ros. 10 ejercicios del 103.

Trinomio cuadrado perfecto Fórmula general: a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 a 2 - 2ab + b 2 = (a - b) 2

Estos dos trinomios se llaman trinomios cuadrados perfectos ya que son el cuadrado de un binomio. Para ser un trinomio cuadrado perfecto, el primero y el último términos debes ser los cuadrados de alguna expresión y el término central debe ser el doble producto del primero y el segundo términos. Cuando se tenga que factorizar un trinomio, determinar si se trata de un trinomio cuadrado perfecto antes de intentar factorizarlo. Si es un trinomio cuadrado perfecto, se puede factorizar empleando las fórmulas descritas previamente. Si no es un trinomio cuadrado perfecto, se puede factorizar empleando los procedimientos explicados en los próximos 2 subtemas.

Trinomios de la forma x 2 + bx + c. Regla práctica para factorizar trinomios de esta forma: 1.Ordenar los términos del trinomio en potencias decrecientes de alguna variable (o variables) en común. 2.Factorizar el trinomio como el producto de dos binomios, en los cuales el primer término de cada binomio es la raíz cuadrada del primer término en el trinomio. 3.En el primer factor, después del primer término, se escribe el signo del segundo término. En el segundo factor, después del primer término, se escribe el signo que resulta de multiplicar el signo del segundo término por el signo del tercer término. 4.Si los dos factores tienen el mismo signo central, buscar dos números cuya suma sea igual al valor absoluto del coeficiente del segundo término y el producto sea igual al valor absoluto del tercer término. Estos números son los segundos términos de los factores. 5.Si los dos factores tienen diferente signo central, encontrar dos números cuya diferencia sea igual al valor absoluto del coeficiente del segundo término y el producto sea igual al valor absoluto del tercer término. El mayor de estos números es el segundo término del primer factor, y el menor de estos números es el segundo término del segundo factor.

ejemplo Ver ejemplos del libro de Baldor, Pág. 158, 159, 160 y 161, al terminar resolver el eje. 98, resolver los 10 primeros ejercicios.

Trinomio de la forma a x 2 + bx + c Regla práctica para factorizar trinomios de esta forma: 1.Ordenar los términos del trinomio en potencias decrecientes de alguna variable (o variables) en común. 2.Multiplicar el trinomio por el coeficiente del primer término. Indicar el producto para el segundo término. 3.Expresar el primer término como potencia. Ordenar el coeficiente del segundo término aplicando la propiedad conmutativa. 4.Factorizar el trinomio como si fuera de la forma x 2 + bx + c. Para restablecer el trinomio a su condición inicial, dividir el trinomio entre el coeficiente del primer término.

ejemplo

A.I Leer del libro de Baldor, las págs. 163 y 164, al terminar resolver los 10 primeros eje. del Ejercicio 100.