ESTADÍSTICAS DESCRIPTIVAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Psic. Gerardo A. Valderrama M.

MEDIDAS ESTADÍSTICAS MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL MEDIDAS DE VARIABILIDAD

Las muestras de datos, con mucha frecuencia, tienden a comportarse de manera muy particular, lo cual tiende a dramatizarse con mucho detalle en las tablas y los gráficos correspondientes. Por lo general, hay uno o varios puntajes que al analizarlos en las tablas y gráficos, presentan una mayor frecuencia de ocurrencia que los otros; en muchas ocasiones, es un solo valor de la distribución el que se destaca por esta cualidad. Es evidente que un número importante de datos tiende a agruparse alrededor de ciertos valores centrales (intervalos), y consecuentemente, el resto se distribuye por encima y por debajo de estos intervalos de mayor frecuencia. En las distribuciones muestrales hay un valor que es el más frecuente y alrededor del cual se agrupa el resto de los valores; este puntaje se considera representativo de toda la distribución. A estos valores, que representan la tendencia de una distribución se les denomina: medidas de tendencia central.

TABLA No.3. Distribución de frecuencias por intervalos correspondientes a las aptitudes de una muestra de 70 estudiantes. IFfapmp% ,032, ,011, ,065, ,1312, ,1111, ,2424, ,077, ,1111, ,077, ,065, ,077, ,032,86 ∑ = 70∑ = 1,00 ∑ = 100,00

1.LA MEDIA ARITMÉTICA Es la medida de tendencia central más conocida y la más importante; se le conoce ampliamente como el promedio. Una definición simple y adecuada de la media aritmética es: la suma de todos los datos correspondientes a una medición, dividida entre el total de los datos. Definida de manera estadística sería: 1. Para el caso de una población: μ = ∑X / N se refiere a la sumatoria de todos los datos de la población, dividida entre la totalidad de sujetos de la misma. 2.Para el caso de una muestra: Xm = ∑ X / n se refiere a la sumatoria de todos los datos de la muestra, dividida entre la totalidad de sujetos de la misma La fórmula anterior se conoce como la fórmula general de la media aritmética y se aplica cuando se utiliza la totalidad de las observaciones, tanto de las muestras como las poblaciones.

PRINCIPALES CARACTERÍSTICAS DE LA MEDIA ARITMÉTICA Por ser el promedio de todas las observaciones está afectada por todos los valores, lo cual determina que la media sea muy sensible a las puntuaciones extremas de las distribuciones. Por ser el promedio de todas las observaciones está afectada por todos los valores, lo cual determina que la media sea muy sensible a las puntuaciones extremas de las distribuciones. A partir de la fórmula general, Xm = A partir de la fórmula general, Xm = ∑ X / n, si dos de los componentes son conocidos, se puede conocer el tercero. si dos de los componentes son conocidos, se puede conocer el tercero. La suma de las desviaciones de cada puntaje con relación a la media es igual a cero : ∑d = 0. La suma de las desviaciones de cada puntaje con relación a la media es igual a cero : ∑d = 0. La media representa un punto de equilibrio o centro de gravedad de la distribución, a partir de los puntajes extremos de la misma. La media representa un punto de equilibrio o centro de gravedad de la distribución, a partir de los puntajes extremos de la misma.

LA MEDIA ARITMÉTICA PARA DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS TABLA No. 4. Cálculo de la media aritmética para datos agrupados. Ifpmfpm ∑ = Xm = ∑fpm / n Xm = 6625 / 70 = El resultado obtenido indica que la media aritmética de las aptitudes de los 70 aspirantes a ingresar a la Universidad fue igual a Si se observa la Tabla, se puede verificar la cercanía de este resultado con el intervalo de mayor frecuencia.

LA MEDIA ARITMÉTICA Y LOS MÉTODOS ABREVIADOS La media aritmética puede ser calculada a través de los denominados métodos abreviados. La media aritmética puede ser calculada a través de los denominados métodos abreviados. Aprovechando la propiedad de que la ∑d = 0, se han desarrollado dos métodos alternativos para el cálculo de este estadístico Aprovechando la propiedad de que la ∑d = 0, se han desarrollado dos métodos alternativos para el cálculo de este estadístico En ambos se determina una media supuesta, que puede corresponder a cualquier puntaje de la distribución, ya sea que esté por encima o por debajo de la media real En ambos se determina una media supuesta, que puede corresponder a cualquier puntaje de la distribución, ya sea que esté por encima o por debajo de la media real

 A partir de este valor se calcula un corrector, que se va a agregar algebraicamente a la media supuesta Si la media supuesta es mayor que la media verdadera, el corrector será restado de la primera corrigiendo el exceso. De esta manera, el resultado final corresponde a la media real. Si la media supuesta es menor que la media verdadera, el corrector será sumado a la primera corrigiendo el defecto; el resultado corresponderá a la media verdadera.

 Las fórmulas correspondientes a los métodos abreviados son: 1.Método Abreviado A: Xm = A + ∑d / n, en donde: A corresponde a la media supuesta ∑d es igual a la sumatoria de las diferencias entre pm y la A ∑d / n es el factor de corrección, cuyo signo será positivo o negativo atendiendo a las características de la media supuesta (por encima o debajo de la media real)

2. MÉTODO ABREVIADO B: Xm = A + (fd/n) i, en donde: A es la media supuesta d corresponde a la distancia entre cada intervalo y A ∑fd corresponde a la sumatoria del producto de las frecuencias de cada intervalo con su correspondiente diferencia (∑fd / n) es el factor de corrección i es el tamaño del intervalo Cualquiera de los dos métodos abreviados tendrá como resultado la misma media: la verdadera.

LOS PROMEDIOS DE POSICIÓN  Otros promedios, diferentes que la media aritmética, permiten estimar el valor representativo de la distribución  A estos promedios se les denomina promedios de posición, en vista de que los mismos corresponden a un lugar en la distribución; primero se busca el lugar (intervalo) y después se calcula el valor del estadístico.  Otra característica de los promedios de posición es que no están afectados por las puntuaciones extremas de la distribución, a diferencia de la media aritmética.

LA MEDIANA Se considera la medida de tendencia central que divide la distribución de datos en dos partes iguales, dejando por encima y por debajo de ella igual cantidad de observaciones. Para el cálculo de la mediana, es necesario que los datos estén ordenados de menor a mayor atendiendo a sus magnitudes.

MEDIANA: es igual a 5, porque la cantidad de datos es impar X X MEDIANA: es igual a 4.5, porque la cantidad de datos es par: = CÁLCULO DE LA MEDIANA PARA DISTRIBUCIONES SIMPLES

MEDIANA PARA DATOS AGRUPADOS EN INERVALOS Cuando los datos están agrupados en tablas de frecuencias, la mediana se calcula utilizando un procedimiento de interpolación, siendo su fórmula de cálculo la siguiente: Med = L + (n/2 - ∑fa) i, en donde fimed Med : mediana L: límite inferior real ∑f : suma de las frecuencias acumuladas hasta el intervalo inferior al de la mediana Fimed: frecuencia dentro del intervalo donde cae la mediana I : tamaño del intervalo n/2 : la mitad del tamaño muestral

TABLA No.5. C á lculo de la mediana en una distribuci ó n de frecuencias IFfa ∑=70 PROCEDIMIENTO N/2 = 70/2 = 35 Clase mediana: intervalo 90 – 94 fa : 24 fimed : 17 i : 5 Med: (35 – 24) (5) = CÁLCULO DE LA MEDIANA

LA MODA La definición más simple y frecuente de la moda es: el valor o puntaje que más se repite en una distribución. X La moda

TABLA No.5. C á lculo de la moda por Interpolaci ó n algebraica If ∑=70 Mo = L + ( Δ 1 ) (i) Δ 1 + Δ 2 Donde: L: límite inferior real de la clase modal (el intervalo de mayor frecuencia Δ 1 : Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la de la clase pre moda (despreciar signos) Δ 2 : Diferencia entre la frecuencia de la clase modal y la de la clase post modal (despreciar signos) i : tamaño del intervalo LA MODA PARA DATOS AGRUPADOS EN INTERVALOS Mo = (17 – 8)___ (5) = (45 / 21) = (17-8)+(17-5)

MODA POR EL MÉTODO EMPÍRICO Otro método a través del cual también se puede calcular la moda lo es el método empírico. Se utiliza preferiblemente cuando la distribución es moderadamente asimétrica, o sea, cuando la media y la mediana difieren ligeramente. En este caso se requiere que la media y mediana hayan sido calculados previamente y la fórmula general es la siguiente: Mo = Media – 3(media-mediana)

Para el ejemplo anterior se calcularon los dos valores: media y mediana Media : Mediana:  Mo = ( ) = – 5.73 = En este caso, la moda alcanzó un valor de 88.91, menor que el obtenido en el método de interpolación algebraica. La diferencia entre ambos valores calculados no debe inquietar al estudiante si los procedimientos han sido correctamente ejecutados; estos procedimientos no llevan a resultados iguales. Para éste caso, sería prudente evaluar el coeficiente de asimetría para verificar que la diferencia entre la media y la mediana es estadísticamente aceptable.

COMPARACION DE LA MEDIA, LA MEDIANA Y LA MODA Es importante destacar que de las tres medidas de tendencia central, la media presenta características estadísticas que la hacen poseer un mayor nivel de utilidad; es la más importante Sus propiedades favorecen su utilización en en cálculos estadístico más avanzados, especialmente en las estadísticas inferenciales y el muestreo. Se le considera la más estable y confiable entre las medidas de tendencia central, lo cual significa que si tomáramos varias muestras, la media aritmética presentaría menor fluctuación que la mediana y la moda.

Hay ocasiones en que se prefiere utilizar la mediana, especialmente cuando queremos hacer ciertas descripciones. Finalmente, la moda es la medida de tendencia central con menos aplicaciones en la investigación psicológica. Fundamentalmente, es una medida muy inestable, no es susceptible de manipulación algebraica y su verdadero valor es difícil de establecer.

La media, mediana y moda pueden relacionarse a través de ciertas condiciones que pasaremos a señalar: Para una distribución simétrica y unimodal, la media ≈ mediana ≈ moda Para una distribución positivamente asimétrica, la media es la mayor, la mediana se ubica en el centro y la moda es la menor. Para una distribución negativamente asimétrica, la media es la menor, la moda la mayor y la mediana se ubica entre las dos.