Funciones

Diferencia entre Relación y Función Algunos elementos del conjunto de partida, pueden no tener imagen en el conjunto de llegada. Todos los elementos del conjunto de partida, necesariamente deben tener su respectiva imagen en el conjunto de llegada Algunos elementos del conjunto de partida ,pueden tener más de una imagen en el conjunto de llegada. Todos los elementos del conjunto de partida, deben tener sólo una imagen en el conjunto de llegada.

Ejercicio: Señale cuales son funciones II. z III. IV. A. Sólo I y II B. Sólo II y III C. Sólo I y III D. Sólo II y IV E. Todas F. Ninguna La Respuesta correcta es B.

Función Definición: Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y solo un elemento y del conjunto B. Se expresa como: f: A B x f(x) = y Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y

Función Conceptos: Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom (f). Rango : es el conjunto de todos los valores que toma la variable dependiente (Y), y se denota Ran (f). Función Creciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente. Función Decreciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye.

Función Conceptos Fundamentales: Si tenemos una relación f entre dos conjuntos A y B, f se dirá función si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno y sólo un valor en el conjunto de llegada B. A B f a x b = f(a) f(x) f(x)

Función Conceptos Fundamentales: La variable x corresponde a la variable independiente y la variable cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable independiente. Se designa generalmente por y o f(x) [se lee “f de x”]. Decir que “y” es función de “x” equivale a decir que “y” depende de “x”. A B f a x b = f(a) y = f(x)

“Toda función es relación, pero no toda relación es función” Conceptos Fundamentales: Se dirá: f : A B b € B es la imagen de a € A bajo la función f y se denota por b= f(a) Dom ( f ) =A Si (x, y) € f ^ (x, z) € f y = z (Unívoca) “Toda función es relación, pero no toda relación es función”

Se puede ver que para todo elemento de A, existe sólo una imagen en B. Función Rango o Recorrido de f: Es aquel subconjunto del codominio en el cual todos sus elementos son imagen de alguna pre-imagen del dominio o conjunto de partida. Se denota por Ran( f). a b c d e 1 2 3 4 5 6 7 A B f 1 2 3 4 5 6 7 Se puede ver que para todo elemento de A, existe sólo una imagen en B.

Luego para la función f denotada: Dominio de f = Dom (f) = A = {a, b, c, d, e} Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Rango o Recorrido de f = Ran( f) = {1, 2, 3, 4, 7} a b c d e 1 2 3 4 5 6 7 A B f Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna pre-imagen en A, luego no pertenecen al rango de f .

Como se ve, 4 € B y no es imagen de ningún elemento de A Clasificación a) Función Inyectiva: Una inyección de A en B es toda f de A en B, de modo que a elementos distintos del dominio A le corresponden imágenes distintas en el codominio B. Cada elemento de A tiene una única imagen en B (y sólo una), de tal forma que se verifica que # A ≤ # B. a b c d 1 2 3 4 5 A B f Como se ve, 4 € B y no es imagen de ningún elemento de A

Como se ve, todos los elementos de B conforman el Rango de la función b) Función Epiyectiva o Sobreyectiva: Una epiyección o sobreyección de A en B, de modo que todo elemento del codominio B es imagen de, al meno, un elemento del dominio A. Cada elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A. Se verifica que # A ≥ # B. Es decir, que en este caso el codominio es igual al rango. a b c d 1 2 A B f Como se ve, todos los elementos de B conforman el Rango de la función

Una función es Biyectiva, sólo si es Inyectiva y Epiyectiva a la vez. c) Función Biyectiva: una función f es biyectiva de A en B si y sólo si la función f es tanto Inyectiva como Epiyectiva a la vez, por lo que se verifica que #A = #B y que a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B y que cada imagen de B le corresponde una preimagen en A. a b c 1 2 3 A B f Una función es Biyectiva, sólo si es Inyectiva y Epiyectiva a la vez.

Función La Respuesta correcta es D.

Función La Respuesta correcta es E.

Gráficas de funciones La gráfica de una función es la gráfica de la ecuación y = f(x). Regla Práctica: Cualquier recta vertical, sólo puede interceptar a la gráfica de la función en un único punto; caso contrario, no es función.

Gráficas de funciones y = 2x y = x y = x/2

Ejercicios: 1 hallar el dominio y el rango de las siguientes funciones 2 Cuales gráficas representan funciones c b a 3 Exprese la longitud del lado de un cuadrado como una función de la longitud de la diagonal. Luego, exprese el área como una función de la longitud de la diagonal 4. Dadas las siguientes funciones, grafique y calcule el Dominio y Rango: a) b)