INTEGRACIÓN

¿Cuál es el problema que motiva el concepto de integral? El cálculo integral se basa en el concepto de la integral. La definición de la integral es motivada por el problema de definir y calcular el área de la región que se encuentra entre la gráfica de una función de valores positivos f y el eje X en un intervalo cerrado [a,b]. El área R de la región de la figura está dada por la integral de f en [a, b], denotada por el símbolo y = f(x) a b

Pero la integral, así como la derivada, es importante debido a su aplicación a muchos problemas que aparentan tener poca relación con dicha motivación original. Por ejemplo, en el campo de la administración y la economía, problemas de crecimiento de poblaciones, excedente de los consumidores, excedente de los productores, valor futuro total y valor presente de un flujo de ingresos, monto de una anualidad, distribución del ingreso (curvas de Lorentz), entre otros. El teorema fundamental del cálculo proporciona una conexión vital entre las operaciones de derivación e integración, la que proporciona un método eficaz para calcular el valor de las integrales. Veremos que en vez de encontrar la derivada de la función f(x), necesitamos determinar una nueva función F(x) cuya derivada sea f(x).

Antiderivadas o primitivas El problema de encontrar la razón de cambio de una cantidad con respecto a otra lo resuelve la derivada. Con la integral resolveremos el problema inverso, esto es, si se conoce la razón de cambio de una cantidad con respecto a otra, encontrar la relación entre ambas. Por otra parte, los modelos matemáticos de las situaciones del mundo real implican con frecuencia ecuaciones que contienen derivadas de las funciones desconocidas. Estas ecuaciones son llamadas ecuaciones diferenciales y, el tipo más sencillo de una ecuación diferencial tiene la forma donde f es conocida y la función y(x) es desconocida.

El proceso de determinar una función a partir de su derivada es el opuesto a la derivación y por ello se llama antiderivación. Si podemos determinar una función y(x) cuya derivada sea f(x), es decir, resolver para y(x) la ecuación y’(x) = f(x), entonces decimos que y(x) es una primitiva o antiderivada de f(x). Definición: Una antiderivada o primitiva de una función f es una función F tal que F’(x) = f(x), siempre y cuando f(x) esté definida. Ejemplo: ¿Qué función F(x) es tal que ? ¿Y por qué no ?

Algunas antiderivadas de f(x) = 3x2 Si F(x) es una primitiva de f(x), también lo es F(x)+C para cualquier elección de la constante C. Algunas antiderivadas de f(x) = 3x2

Una sola función tiene muchas primitivas, mientras que una función sólo puede tener una derivada Teorema: Si F’(x) = f(x) en cada punto del intervalo abierto I, entonces cada primitiva G de f, en I, tiene la forma G(x) = F(x)+C, donde C es una constante.

Variable de integración La colección de todas las primitivas de la función f(x) es conocida como la integral indefinida de f con respecto a x y se denota Variable de integración Función integrando Con base en el teorema, escribimos Por ejemplo,

Las propiedades de linealidad de la derivación inducen las siguientes para la integral indefinida: Ejercicio: Verifique los siguientes resultados:

A partir de las fórmulas de derivación podemos obtener fórmulas de integración

Ejercicio: Calcule las integrales siguientes: Problema: Se estima que dentro de t meses la población de cierta ciudad cambiará a una razón de personas por mes. Si la población actual es de 10.000 personas, ¿cuál será la población dentro de 8 meses?

Pero ¿cómo calculo estas integrales? Ejercicio: Calcule las integrales siguientes: Pero ¿cómo calculo estas integrales?

¿Cómo reconocer cuál técnica emplear para integrar? Métodos de integración Desarrollaremos técnicas que junto con las fórmulas básicas nos permitirán calcular integrales indefinidas de funciones más complicadas. ¿Cómo reconocer cuál técnica emplear para integrar? No se pueden dar reglas inalterables y efectivas respecto a cuál método aplicar en determinado caso, pero uno de los prerrequisitos para seleccionar una estrategia es el conocimiento de las fórmulas básicas de integración.

Integración por sustitución Si u = g(x) es una función diferenciable cuyo recorrido es un intervalo I y f es continua en I, entonces Debemos tener presente que si u = g(x), entonces du = g’(x)dx Ejemplo: Calculemos Si entonces du = 2x dx y 3x dx = du ; luego la integral se escribe:

Ejercicio: Calcule las siguientes integrales ? Ejercicio: muestre con un ejemplo que la igualdad anterior no se cumple Ejercicio: Calcule las siguientes integrales

Ejercicio: Calcule Problema: Después de x años de trasplantado, se estima que un árbol crece a una razón de metros por año. Transcurridos dos años alcanza una altura de 5 metros. ¿Qué altura tenía cuando fue trasplantado? Problema: Se proyecta que dentro de x años la población de cierto país cambiará a una razón de millones por año. Si la población actual es 50 millones de habitantes, ¿cuál será la población dentro de 10 años?

Integración por medio de tablas Con los métodos de integración estudiados precedentemente es posible calcular la mayor parte de las integrales que aparecen en las aplicaciones a la administración, economía y ciencias sociales. Sin embargo, podemos vernos enfrentados a una integral que no puede resolverse mediante estos métodos. En muchos de estos casos el problema lo podemos solucionar recurriendo al uso de tablas de integrales como mostraremos a continuación.

Ejercicio: Calcule