UNIDAD 2: FUNCIONES

2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función. 2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva. 2.3 Función real de variable real y su representación gráfica. 2.4 Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional. 2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales. 2.6 Función definida por más de una regla de correspondencia. función valor absoluto. 2.7 Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición. 2.8 Función inversa. Función logarítmica. Funciones trigonométricas inversas. 2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los números reales: las sucesiones infinitas. 2.10 Función implícita.

Recorrido de una función 2.1 Concepto Variable Función Dominio Codominio Recorrido de una función

I. Variable DEFINICION: La variable x es la variable independiente, y la variable y es la variable dependiente. Así, una función real, es una función de variable y valor real.

II. Función DEFINICION I: Una función es como una máquina: tiene una entrada y una salida. Lo que sale está relacionado de alguna manera con lo que entra.

f(x) te dice que la función se llama "f ", y "x" se pone dentro.

DEFINICION 2: Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos de tal manera que a cada elemento del primer conjunto (A) llamado dominio, le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto (B) llamado contradominio.

DEFINICION FORMAL DE UNA FUNCION: "Multiplicar por 2" La raíz cuadrada (√) Seno, coseno y tangente DEFINICION FORMAL DE UNA FUNCION: Una función relaciona cada elemento de un conjunto con un elemento exactamente de otro conjunto (puede ser el mismo conjunto).

III. DOMINIO, CONDOMINIO y RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN: El conjunto es el dominio El conjunto es el codominio El conjunto de elementos de Y a los que llega alguna flecha (los valores verdaderos de la función) se llama rango o imagen.

Lo que puede entrar en una función se llama el dominio Lo que es posible que salga de una función se llama el codominio Lo que en realidad sale de una función se llama rango o imagen

REPRESENTACIÓN: En su forma más simple el dominio son todos los valores a los que aplicar una función, y el rango son los valores que resultan.

2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva "Inyectivo, sobreyectivo y biyectivo" te dan información sobre el comportamiento de una función.

Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y. I. INYECTIVA: Significa que cada elemento de "B" tiene como mucho uno de "A" al que corresponde (pero esto no nos dice que todos los elementos de "B" tengan alguno en "A").   Una función f es inyectiva si, cuando f(x) = f(y), x = y.

DEFINICION 1: (Uno a uno): Una función es inyectiva si a cada elemento del dominio le corresponde una imágen diferente en el contradominio, es decir si a es diferente de b entonces f(a) es diferente de f(b), o bien, si f(a) = f(b) entonces a = b

REPRESENTACIÓN:

II.SUPRAYECTIVA: DEFINICION: Significa que cada elemento de "B" tiene por lo menos uno de "A" (a lo mejor más de uno). DEFINICION: (Sobre): Una función es suprayectiva si todos los elementos del contradominio son imágenes de al menos un elemento del dominio, es decir si "y" está en B entonces existe una "x" en A tal que y=f(x)

REPRESENTACIÓN:

III.BIYECTIVA -Significa inyectivo y sobreyectivo a la vez. Así que hay una correspondencia perfecta "uno a uno" entre los elementos de los dos conjuntos. -Una función f (del conjunto A al B) es biyectiva si, para cada y en B, hay exactamente un x en A que cumple que f(x) = y

DEFINICION: Cuando es inyectiva y suprayectiva La función f(x) = x2 del conjunto de números reales positivos al mismo conjunto es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva. Pero no desde el conjunto de todos los números reales porque podrías tener por ejemplo: f(2)=4 y f(-2)

2.3 Función real de variable real y su representación gráfica. DEFINICION: Se llama función real de variable real a toda aplicación f de un subconjunto no vacío S de R en R. Una función real está definida, en general, por una ley o criterio que se puede expresar por una fórmula matemática. La variable x recibe el nombre de variable independiente y la y o f(x) variable dependiente o imagen.

2.4 Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional. En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

-Son las funciones que vienen definidas por un polinomial. FUNCIÓN POLINOMIAL: -Son las funciones que vienen definidas por un polinomial. Función constante Función lineal Función cuadrática Función cubica y=f(x)=c

F(x)=P(x)/Q(x)| FUNCIONES RACIONAL E IRRACIONAL:   El criterio viene dado por un cociente entre polinomio: F(x)=P(x)/Q(x)|

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. IRRACIONAL El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

Función trascendente: 2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones exponenciales. Función trascendente: La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

Se llama función trascendente, aquella cuya variable y contiene expresiones trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes son las siguientes:

Funciones exponenciales: Sea a un número real positivo Funciones exponenciales: Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.

Funciones trigonométrica: Función seno Función coseno Función cosecante Función secante Función tangente Función cotagente

2.6 Función definida por más de una regla de correspondencia, función valor absoluto.

2.7 Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición.

Función inversa: O reciproca de f a otra función f -ᶥ 2.8 Función inversa. Función logarítmica. Funciones trigonométricas inversas. Función inversa: O reciproca de f a otra función f -ᶥ Función logarítmica: La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.  

Funciones trigonométricas inversas: f -1(x)=arcsen x f -1(x)=arc cos x