Sección 2.5 Gráficas de Funciones

Funciones definidas por partes A veces más de una expresión se necesita para definir una función. Tales funciones se conocen como funciones definidas por partes. Por ejemplo, la siguiente función, f, se define usando tres expresiones diferentes:

Funciones definidas por partes (cont.) Para 𝒙≤−𝟏, la gráfica de f coincide con la gráfica de y = 2x + 5. Evaluamos esta ecuación para dos puntos en los cuales la x es menor que 1. Para −𝟏<𝒙<𝟏, , la gráfica de f coincide con la gráfica de 𝒚= 𝒙 𝟐 . Evaluamos esta ecuación para algunos puntos en los cuales la x está entre -1 y 1. Para 𝒙≥𝟏, la gráfica de f coincide con la gráfica de y = 2. Para cualquier x mayor que uno el valor de la y es 2. Notar que la gráfica pasa la prueba de la línea vertical.

Funciones definidas por partes (cont.) 𝒇 𝒙 = 𝒙+𝟐, 𝒔𝒊 𝒙≤−𝟏 𝟒,𝒔𝒊 −𝟏<𝒙<𝟑 −𝒙+𝟒, 𝒔𝒊 𝒙≥𝟑 Para f(x) definida como se muestra a la derecha, hallar f(-5), f(2) y f(4). f(-5)= -5 + 2 = -3 f(2)= 4 f(4)= -4 + 4 = 0 La gráfica se muestra a continuación: Notar que la gráfica pasa la prueba de la línea vertical.

Ejemplo de Valor Absoluto Hagamos un boceto de f(x) = |2x – 3| : Determinar para cuales valores la ecuación 2𝑥−3 es no-negativo 2𝑥−3 es no-negativo para 𝑥≥ 3 2 , por lo tanto, para esos valores la gráfica de f coincide con y = 2𝑥−3. Evaluemos y = 2𝑥−3, para algunos valores: x 1.5 2 2.5 3 3.5 4 y 1 5

Ejemplo de Valor Absoluto Hagamos un boceto de f(x) = |2x– 3| : Determinar para cuales valores y = 2𝑥−3, es negativo: 2𝑥−3 es negativo para 𝑥< 3 2 , por lo tanto, para esos valores la gráfica de f coincide con y = −(2𝑥−3). Evaluemos y = −(2𝑥−3), para algunos valores: x 1.4 1.25 1 0.75 0.5 y 0.2 1.5 2

Ejemplo de Valor Absoluto Hagamos un boceto de f(x) = |x2 – 4| : Determinar para cuales valores la ecuación 𝑥 2 −4 es no-negativo 𝑥 2 −4 es no-negativo para 𝑥<−2 y 𝑥>2, por lo tanto, para esos valores la gráfica de f coincide con y = 𝑥 2 −4. Evaluemos y = 𝑥 2 −4, para algunos valores: x -2 -2.5 -3 -3.5 -4 y 2.25 5 8.25 12 x 2 2.5 3 3.5 4 y 2.25 5 8.25 12

Ejemplo de Valor Absoluto Hagamos un boceto de f(x) = |x2 – 4| : Determinar para cuales valores y = 𝑥 2 −4, es negativo: 𝑥 2 −4 es negativo para −2≤𝑥≤2 , por lo tanto, para esos valores la gráfica de f coincide con y = −( 𝑥 2 −4). Evaluemos y = −(𝑥 2 −4), para algunos valores: x -1.9 -1.5 -1 1 1.5 1.9 y 0.39 1.75 3 4

Funciones Pares e Impares Las funciones se clasifican como pares o impares dependiendo del tipo de simetría que reflejan sus gráficas. Terminología Definición Ejemplo Tipo de simetría f es una función par f(-x) = f(x) para todo x en el dominio de la función   f(x) = x2 con respecto al eje de y f es una función impar f(-x) = - f(x) para todo x en el dominio de la función f(x) = x3 con respecto al origen

Ejemplo Si f(x) = 3x4 – 2x2 + 5 , por lo tanto, f, es una función par. f(-x) = 3x4 – 2x2 + 5 = f(x) por lo tanto, f, es una función par. Si f(x) = 2x5 – 7x3 + 4x f(–x) = 2(–x)5 – 7(–x)3 + 4(–x) f(–x) = –2x5 + 7x3 – 4x = –f(x) , por lo tanto, f es una función impar.

f(–x) = (–x)3 + (–x)2 = –x3 + x2 , Ejemplo (cont.) Si f(x) = x3 + x2 , entonces f(–x) = (–x)3 + (–x)2 = –x3 + x2 , que no es igual a f(x), ni a –f(x) , por lo tanto, f no es par, y tampoco es impar. Otra función par es f(x) = |x| ya que |–x| = |x| para cada número real x .

Desplazamiento Vertical Funciones que se forman sumando o restando un valor real positivo c a otra función pertenecen a una misma “familia” h(x)= f(x) + c h(x)= f(x) – c Cada h(x) es un desplazamiento vertical de la gráfica de y = f(x) .

Desplazamiento Vertical (cont)

Ejemplo He aquí la gráfica de f(x) = x2 , junto a la gráfica de… g(x) = x2 + 4 and h(x) = x2 – 4 . En notación de funciones: g(x) = f(x) + 4 h(x) = f(x) – 4

Ejemplo (cont) En notación de funciones: g(x) = f(x) + 4 h(x) = f(x) – 4 La notación nos indica que si: (2,4) pertenece a f(x) (2,8) pertenece a g(x) (2,0) pertenece a h(x)

Desplazamiento Horizontal Funciones que se forman según se ilustra en los siguientes ejemplos y = g(x) = f(x – c) y = h(x) = f(x + c) se llaman desplazamientos horizontales de la gráfica de y = f(x) . Tome nota de la dirección del desplazamiento en la siguiente ilustración:

Ejemplo He aquí la gráfica de f(x) = x2 , junto a las de … g(x) =f(x – 4)=(x – 4)2 ; h(x) =f(x+2)=(x + 2)2 . Si (𝟑,𝟗)∈𝒇(𝒙) (𝟕,𝟗)∈𝒈(𝒙) (𝟏,𝟗)∈𝒉(𝒙) Los desplazamientos verticales y horizontales se conocen como translaciones.

Desplazamiento horizontal(cont)

Reflexión Dada la gráfica de y = f(x) , la gráfica de y = – f(x) se construye reflejando la gráfica de f(x) sobre el eje-de-x. Aquí vemos f(x) = x2 y g(x)=-f(x) Si 𝟐,𝟒 ∈𝒇 𝒙 , 𝟐,−𝟒 ∈−𝒇(𝒙)

Práctica Esboce la gráfica de g(x) = (𝒙−𝟐) 𝟐 +𝟏 La ecuación nos indica que la gráfica de f(x) = x2 se ha trasladado 2 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba. Cada punto de la gráfica sufre la siguiente transformación: (x,y) (x +2, y+1)

Práctica Sea f el segmento de recta que pasa por los puntos (-3, 1) y (2, 4). Esboce la gráfica de: -f(x) f(x + 1) -f(x + 1)