Unidad 1: ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN SOLUCIONES POR SUSTITUCION (Método de sustitución)

Sustituciones Suponga que se desea transformar la ecuación diferencial de primer orden mediante la sustitución y=g(x,u), donde u se considera una función de la variable x. Si g posee derivadas parciales, entonces la regla de la cadena genera

Sustituciones… que si se resuelve para du/dx, tiene la forma: Si dy/dx se sustituye por la derivada anterior y y se reemplaza en f(x,y) por g(x,u) entonces, la ecuación diferencial se convierte en que si se resuelve para du/dx, tiene la forma: Si de esta última ecuación se puede determinar una solución u=f(x), entonces una solución de la ecuación diferencial original es y=g(x,f(x)).

Funciones homogéneas Si una función f posee la propiedad f(tx,ty)=taf(x,y) para algún número real a, se dice entonces que f es una función homogénea de grado a. Por ejemplo: f(x,y) = x3+y3 es una función homogénea de grado 3 mientras que f(x,y) = x3+y3 +1 no lo es.

Polinomios homogéneos Polinomios homogéneos son aquellos en los que todos los términos son del mismo grado. Ejemplos: x2y + 8xy2 – x3 +y3 (la suma de los exponentes de cada uno de los cuatro términos son de grado 3). 5x2y3 + 4xy4 +8x5 (la suma de los exponentes de cada uno de los tres términos son de grado 5).

Ecuaciones homogéneas Cuando las funciones M(x,y) y N(x,y) de la ecuación diferencial de primer orden M(x,y)+N(x,y)=0 son ambas polinomios homogéneos del mismo grado “n”, la ecuación diferencial se denomina: ecuación diferencial homogénea de grado n.

Ecuaciones homogéneas… Para la ecuación diferencial homogénea M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0, M y N tienen la propiedad de que para toda t>0, la sustitución de x por tx y la de y por ty hace que M y N sean del mismo grado n. En otras palabras, la ecuación diferencial es homogénea si: M(tx,ty)=tnM(x,y) y N(tx,ty)=tnN(x,y). Para n e R.

Ecuaciones homogéneas… Las ecuaciones diferenciales homogéneas de grado n siempre se pueden reducir a ecuaciones diferenciales de variables separables, utilizando cualquiera de las dos sustituciones, o cambios de variables siguientes:

Problema Resuelva la ecuación diferencial mediante la sustitución:

Ecuación de Bernoulli La ecuación diferencial Donde n es cualquier real se llama Ecuación de Bernoulli. Para n=0 y n=1 la ecuación anterior es lineal. Para n diferente de 0 ó 1, la sustitución u=y1-n reduce la ecuación de Bernoulli a una ecuación lineal.

Ecuación de Bernoulli… Resuelva la ecuación diferencial con la sustitución adecuada.

Otras reducciones Una ecuación diferencial de la forma: Se reduce siempre a una ecuación con variables separables por medio de la sustitución:

Otras reducciones… Resuelva las ecuaciones diferencial con la sustitución adecuada.