ANÁLISIS ESTADÍSTICO de los RESULTADOS DEL AJUSTE TEMA 10 ANÁLISIS ESTADÍSTICO de los RESULTADOS DEL AJUSTE 10.1 Distribución normal bidimensional. 10.2 ELIPSES DE ERROR Métodos para obtener sus parámetros: Semiejes y Orientación 10.3 Elipse de error asociada a una cierta probabilidad

10.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL BIDIMENSIONAL Ya se ha estudiado la distribución de probabilidad de dos variables que se distribuyen conjuntamente. Estudiamos ahora un caso particular: La DISTRIBUCIÓN NORMAL BIDIMENSIONAL (bivariada). Esta distribución es muy útil cuando se trabaja con posiciones planimétricas (x,y) en topografía. Planteamos el estudio así: Sea la variable aleatoria bidimensional (X,Y) tal que X  N(x , x2)  Y  N(y , y2)  Entonces, la función de densidad conjunta de (X, Y) es Siendo  = coeficiente de correlación. Si  = 0, X e Y son independientes y por ello f(x,y) = f(x).f(y)

10.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL BIDIMENSIONAL La función de densidad f(x,y) tiene la siguiente forma Las funciones f(x) y f(y) son las funciones de densidad marginales de x e y, respectivamente. Las intersecciones de la función de densidad f(x, y) con planos paralelos al plano {x,y} son elipses centradas en (x , y). Vemos cómo son estas elipses. f(y) f(x,y) k f(x) x x y y (X , Y)

10.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL BIDIMENSIONAL Ecuación general de LA ELIPSE, intersección con el plano f(x,y) = k (logaritmos neperianos) Ecuación que depende de k

10.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL BIDIMENSIONAL Veamos la elipse tipo y analicemos la información que contiene. El centro de la elipse es (x, y) Los puntos extremos A, B, C, D tienen las siguientes coordenadas. Si se hace una traslación de ejes a (x , y), estas coordenadas serán Si x=y =  , y  = 0, la ecuación será Es la ecuación de una circunferencia de radio = c y A 6 E B H 5 (x, y) F D G 4 C 3 4 5 cx cx cy cy (1-)cy cx cx (1-)cx x c x y

10.2 ELIPSES DE ERROR El modelo de distribución normal bidimensional es el que se aplica usualmente en las observaciones topográficas. Si deseamos centrarnos en las componentes de los errores aleatorios, podemos tomar x = 0, y = 0 y conseguir así una distribución de probabilidad centrada en (0, 0). En esta situación, la función de densidad y ecuación de la elipse pasan a ser, respectivamente o bien Esta ecuación representa de hecho una familia de elipses centradas en (0, 0) z El parámetro c está relacionado con k, siendo k la altura de cada plano paralelo a {x,y} que intersecta con la superficie f(x,y).

10.2 ELIPSES DE ERROR Si c = 1 se obtiene la ELIPSE DE ERROR ESTÁNDAR. El tamaño, área y orientación de esta elipse dependen de los parámetros x, y y  (en el ajuste mmcc de redes topográficas indican la precisión de los puntos-vértices ajustados). Se representan algunos casos posibles de forma y orientación de la elipse  = 0 ; x= y x y x y  = 0 y > x x y  = 0 x > y z x y  = 0,5 x = y x y  = 0,5 x = y  < 0 ; x > y x y  > 0 ; y > x x y

10.2 ELIPSES DE ERROR Obtención de los parámetros de la ELIPSE DE ERROR ESTÁNDAR. En la figura se muestra la representación gráfica de una elipse de error estándar. Los parámetros que definen la elipse son los semiejes a = x’ , b = y’ y la orientación . Se trata de obtener sus valores.- Se presentan dos métodos para ello. En función del ángulo , de orientación de la elipse. En función de los autovalores de la matriz de covarianzas xx . Diagonalización de xx y x y’ X’ y’ x Rectángulo de Error estándar Elipse de Error estándar y x’  z

10.2 ELIPSES DE ERROR Obtención de los parámetros de la ELIPSE DE ERROR ESTÁNDAR. Consideremos un error de posición expresado en el sistema de coordenadas (X, Y) por el vector , y el mismo error expresado en el sistema (X’,Y’) por el vector . La transformación (rotación ) que relaciona ambos vectores es z y x y’ X’ y’ x Rectángulo de Error estándar Elipse de Error estándar y x’  x P Y’ Y x’ X X’ y’ y

10.2 ELIPSES DE ERROR Obtención de los parámetros de la ELIPSE DE ERROR ESTÁNDAR. … Consideremos ahora las matrices covarianza asociadas a cada uno de los dos vectores: Las variables x e y son correladas en general (xy ≠ 0). Puede demostrarse que las variables x’, y’ transformadas mediante la rotación  vista antes son incorreladas. (los nuevos ejes X’ Y’ coinciden con los ejes de la elipse). Así x’y’ es Para obtener x’y’ podemos aplicar la ley de propagación de varianzas y covarianzas teniendo en cuenta la relación (lineal) entre los vectores z y x y’ X’ y’ x Rectángulo de Error estándar Elipse de Error estándar y x’ 

10.2 ELIPSES DE ERROR Obtención de los parámetros de la ELIPSE DE ERROR ESTÁNDAR. … Operamos z y x y’ X’ y’ x Rectángulo de Error estándar Elipse de Error estándar y x’  (*)

10.2 ELIPSES DE ERROR Obtención de los parámetros de la ELIPSE DE ERROR ESTÁNDAR. … Observación importante: El cuadrante correcto para 2 debe determinarse en función de los signos del numerador y del denominador de (*), ello antes de dividir por 2 para obtener . Vemos la tabla que sigue. (*) Signo Algebraico del Cuadrante para 2 Numerador Denominador + 1  2 3 4 z y x y’ X’ y’ x Rectángulo de Error estándar Elipse de Error estándar y x’ 

Las coordenadas x, y de una estación están, en general, correladas. 10.2 ELIPSES DE ERROR Obtención de los parámetros de la ELIPSE DE ERROR ESTÁNDAR. … Otras observaciones: Las coordenadas x, y de una estación están, en general, correladas. El cálculo del valor de  que da los valores máximo y mínimo para los semiejes equivale, como se ha visto, a realizar una “rotación” de la matriz de covarianzas hasta que los elementos fuera de la diagonal sean ceros. Así, puede afirmarse que los valores de las coordenadas x’ , y’ son incorrelados, que es equivalente a establecer que el elemento es igual a cero. (*) z y x y’ X’ y’ x Rectángulo de Error estándar Elipse de Error estándar y x’ 

10.2 ELIPSES DE ERROR Obtención de los parámetros de la ELIPSE DE ERROR ESTÁNDAR. … Operamos para eliminar  de (1) y (2). El resultado es z y x y’ X’ y’ x Rectángulo de Error estándar Elipse de Error estándar y x’ 

10.2 ELIPSES DE ERROR Obtención de los parámetros de la ELIPSE DE ERROR ESTÁNDAR. Diagonalización de xx. Autovalores Proposición-Teorema Los semiejes de la ELIPSE DE ERROR representada por (c = 1) son las RAÍCES CUADRADAS DE LOS AUTOVALORES de la matriz de covarianzas xy Observación: La ecuación de la elipse de error adopta su forma más general con la siguiente expresión y x y’ X’ y’ x Rectángulo de Error estándar Elipse de Error estándar y x’ 

10.2 ELIPSES DE ERROR Obtención de los parámetros de la ELIPSE DE ERROR ESTÁNDAR. Diagonalización de x. Autovalores Demostración del Teorema Autovalores de xy En definitiva, los semiejes de la elipse de error son y x y’ X’ y’ x Rectángulo de Error estándar Elipse de Error estándar y x’ 

10.2 ELIPSES DE ERROR EJEMPLO: El error aleatorio en la posición de una estación se expresa mediante una distribución normal bidimensional con parámetros: x = y = 0 ; x = 0,22m ; y = 0,14m ;  = 0,8. Evaluar los semiejes y la orientación de la elipse de error estándar asociada con este error. Solución Semiejes y x y’ X’ y’ x Rectángulo de Error estándar Elipse de Error estándar y x’ 

10.2 ELIPSES DE ERROR EJEMPLO: …. Solución Orientación 2º método :Diagonalización de la matriz y x y’ X’ y’ x Rectángulo de Error estándar Elipse de Error estándar y x’  Calcular los semiejes

10.3 ELIPSE DE ERROR ASOCIADA A UNA CIERTA PROBABILIDAD Para llevar a cabo el estudio de esta elipse de error, es conveniente considerar las variables aleatorias X’, Y’ incorreladas, que resultan de someter a las v.a. X e Y (correladas en general) a una rotación igual a , ángulo de orientación de la elipse de error. Estas variables aleatorias son los errores de posición en las direcciones de los ejes x’, y’ (respect. de los ejes x, y) Para estos errores aleatorios x’, y’, incorrelados, será  = 0. Entonces la elipse de error correspondiente será. (ecuación particularizada, para =0, de la vista en diap. 15 y siguientes) Consideremos ahora la posición de un punto definida por los dos errores aleatorios en X’ e Y’. y x y’ X’ y’ x Rectángulo de Error Elipse de Error x’=a  y’=b y

10.3 ELIPSE DE ERROR ASOCIADA A UNA CIERTA PROBABILIDAD El centro de la elipse de error es (x, y). Así, las “coordenadas” x’ e y’ (o x e y) de la posición del punto lo son respecto de ese centro de la elipse y por tanto son, de hecho, errores aleatorios en esa posición. Con este sentido, este punto (su posición verdadera) estará en el interior o sobre la elipse si se cumple Consideremos ahora la variable aleatoria Si tenemos en cuenta que X’ e Y’ son variables aleatorias normalmente distribuidas, X’ N(0, x’) , Y’  N(0, y’), se tendrá que X’/x’ e Y’/y’ seguirán ambas la distribución N(0, 1). En consecuencia (diap. 8), la variable U arriba definida debe seguir una distribución Chi-cuadrado con n=2 grados de libertad. Su función de densidad será

10.3 ELIPSE DE ERROR ASOCIADA A UNA CIERTA PROBABILIDAD La probabilidad de que los valores dados por x´e y’ estén en/dentro de la elipse de error es . Esta probabilidad representa el área (rayada) bajo la curva de la función de densidad de la distribución 2 con 2 g.l. El área total (=1) bajo la curva de la distribución corresponde a la región definida por la elipse de error. Se presenta una tabla con los valores de esta probabilidad correspondientes a distintos valores de c (de c2) Área = p = F(c2) = =P[Uc2] c2 = 2 p,2

10.3 ELIPSE DE ERROR ASOCIADA A UNA CIERTA PROBABILIDAD Tabla de 2 con 2 g.l. Área = p = F(c2) = =P[Uc2] c2 = 2 p,2 c c2 Probabilidad 1 0,39346934 1,177 1,385329 0,499758601 1,414 1,999396 0,632009442 2 4 0,864664717 2,146 4,605316 0,90000729 2,447 5,987809 0,949908528 3 9 0,988891003 3,035 9,211225 0,990004422 3,5 12,25 0,997812509

10.3 ELIPSE DE ERROR ASOCIADA A UNA CIERTA PROBABILIDAD Para la elipse de error estándar es c =1, Por ello la probabilidad de que la posición de un punto definida por los dos errores aleatorios esté dentro o sobre la elipse de error estándar es 0,3934 (39,3%). Se ha visto que la ecuación de la elipse de error puede escribirse de la forma (diap. 56) : Con lo cual podemos asegurar que sus semiejes son siendo, como sabemos, x’ , y’ los semiejes de la elipse de error estándar. Se mantiene la misma orientación  de la elipse de error, cualquiera que sea el valor de c. El valor de c dará el tamaño de la elipse de error y, en consecuencia, la probabilidad asociada correspondiente. c c2 Probabilidad 1 0,3934 1,177 1,3853 0,4997 1,414 2 0,6320 4 0,8646 2,146 4,6053 0,9000 2,447 5,9878 0,9499 3 9 0,9889 3,035 9,2112 0,9900 3,5 12,25 0,9978

10.3 ELIPSE DE ERROR ASOCIADA A UNA CIERTA PROBABILIDAD EJEMPLO: Para el error aleatorio visto en el ejemplo de la pág. 17, calcular los semiejes de la elipse, tal que la probabilidad de que dicho error caiga dentro de la misma es del 90%. (Elipse de error del 90%) Solución. Para p=0.90 podemos despejar c de c=?? O utilizar la función Excel INV.CHICUAD(probab ;grados de libertad=2), que devuelve c2 , para este caso ?? , o sea c=?? c c2 Probabilidad 1 0,3934 1,177 1,3853 0,4997 1,414 2 0,6320 4 0,8646 2,146 4,6053 0,9000 2,447 5,9878 0,9499 3 9 0,9889 3,035 9,2112 0,9900 3,5 12,25 0,9978 ¿cómo calculamos la elipse de probabilidad = 0.71?

Elipses de error asociadas al 95% de confianza de todos los vértices de la Red Topográfica Urbana:

Elipses de error asociadas al 95% de confianza, con mayor redundancia , de todos los vértices de la Red Topográfica Urbana: