Distribución exponencial              Es un caso particular de la distribución gamma cuando α = 1. X es una variable aleatoria con distribucion exponencial Si su función de densidad es:   Su parámetro es β. La media y la varianza de la distribución exponencial son:            

La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Que recordemos era: Describe procesos en los que nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre un determinado evento, sabiendo que el tiempo que puede transcurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente.

Ejemplos de este tipo de distribuciones son: el tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse (datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14) o el tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente.

    0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 1 2 3 4 5 6 7 8    

DISTRIBUCIÓN DE POISSON Probabilidad discreta. Nos dice la probabilidad de x número de eventos ocurriendo en un periodo de tiempo determinado si su ocurrencia se da con una tasa media conocida y tienen independencia del tiempo desde la última ocurrencia.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON Se deriva de un proceso de Poisson. Sus propiedades son: La cantidad de resultados ocurridos en un intervalo de tiempo o región fijos es independiente del ocurrido en cualquier otro intervalo de tiempo o región disjuntos. La probabilidad de que un resultado ocurra en un intervalo de tiempo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamaño de la región e independiente de los resultados ocurridos fuera de ellos. La probabilidad de que más de un resultado ocurra en un intervalo de tiempo muy corto o en una región muy pequeña es despreciable.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON En donde x es el número de veces que ocurre un evento λ es un número real positivo, equivalente al número promedio de éxitos entre la unidad de medida usada. Ejemplo: Si los eventos ocurren de media cada 4 minutos, y se está interesado en el número de eventos ocurriendo en un intervalo de 10 minutos, se usaría como modelo una distribución de Poisson con λ = 2.5. (10/4)

DISTRIBUCIÓN DE POISSON Ejemplo: Si 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas. (x se puede encontrar como k en algunos libros)

Distribución Exponencial Variable aleatoria exponencial: Es el tiempo o espacio indeterminado entre dos eventos consecutivos en un proceso de Poisson Distribución de probabilidad exponencial: Función para dichos intervalos de tiempo

Distribución Exponencial Es una distribución de probabilidad continua con un parámetro λ>0 Función de densidad: Función de distribución:

Distribución Exponencial Valor esperado: Varianza: Dominio: [0,∞)

Ejemplo Distribución Exponencial X representa la vida útil de un aparato electrónico, X tiene una distribución exponencial. con λ = 1/250 por hora. Solucion Pr(X > 500) = 1 − Pr(X ≤ 500) = 1 − F(500)= 1 −{1 − exp(−500 250)} = exp(−2)= 0.135; La probabilidad requerida es la siguiente : Pr(X < 250) = F(250) = 1 − exp(−250250) = 1 − exp(−1) = 0.632.

Otro Ejemplo X representa la distancia entre las fallas de una cinta, X tiene una distribución exponencial conÑ λ = 1/10 por pie. La probabilidad requerida es: Pr(X > 5) = 1 − Pr(X ≤ 5)= 1 − F(5)= 1 −{1 − exp(−510)}= exp(−1/2) = 0.607; Encontrando X: Cuando α = 0.1; la distancia es: x0.1= −1 1/10 × log(0.1) = −10 × log(0.1) = 23.026.

Diferencias entre Poisson y Exponencial La distribución de probabilidad Poisson relaciona probabilidades con números de acontecimientos de algún evento, dentro de intervalos especificados de tiempo o espacio. “En 5 minutos, ¿Cuántos coches pasan por el semáforo?” La distribución exponencial, por el contrario, relaciona probabilidades con los diversos espacios, entre los eventos Poisson. “¿Cuál es la probabilidad de que pase un coche cada 5 minutos por ese semáforo?”