12 Sesión Contenidos: Función cuadrática. Elementos de la función cuadrática. Gráfico de funciones cuadráticas en el plano cartesiano. Profesor: Víctor Manuel Reyes F. Asignatura: Matemática básica (MAT-0003) Primer Semestre 2016

Aprendizajes esperados: Determinar la concavidad de la parábola y los ceros de la función a partir de la función cuadrática dada algebraicamente. Determinar el vértice de la parábola. Grafica funciones cuadráticas. Determinar dominio, recorrido, intervalos de crecimiento y decrecimiento, a partir de la función dada algebraicamente y/o su gráfica. Resolver ejercicios de aplicación (con enunciado verbal), que se comportan cuadráticamente.

Introducción Función lineal Función cuadrática y = f(x) = ax2+bx+c Ejemplo y = f(x) =  x2 + 3x − 5

Función cuadrática y = f(x) = x2 + 3x − 5 ¿Los puntos (1,-1) y (2,1) pertenecerán a la parábola?

Elementos de Función cuadrática Parábola Parábola

Parábola hacia arriba o hacia abajo Concavidad Si a  >  0, entonces la parábola será cóncava hacia arriba. Si a  <  0, entonces la parábola será cóncava hacia abajo.

Coeficiente a a El coeficiente a depende la dilatación o contracción de la parábola. Ya que mientras mayor sea el valor absoluto de a, la parábola se contrae, y mientras menor sea el valor absoluto de a, la parábola se dilata.

Puntos de intersección con ejes y = f(x) = x2 − 3x − 2 Intersección eje x Intersección eje y (x1,0) (x2,0) (0,y1)

Puntos de intersección con eje y f (x) = 2x2 + 3x − 5

Puntos de intersección con eje x La intersección con el eje x, se determina cuando la gráfica intercepte el eje x, debe ocurrir que y = 0; si reemplazamos en la ecuación, obtenemos: 0= ax2 + bx + c, por lo tanto las intersecciones de la función cuadrática con el eje x se obtienen resolviendo las ecuación de segundo grado. Por factorización Utilizando la fórmula Por completación de cuadrados

Puntos de intersección con eje x, (factorización) x2 - 12x - 28 = 0 (x - 14)(x + 2) = 0 x = 14 y x = -2

Puntos de intersección con eje x, (fórmula) x2 – 10x +24 = 0

Puntos de intersección con eje x y = x2 + 4x + 4 y = -x2 + 2x -1 y = x2 + 2 y = -x2 -1 y = x2 + 4x + 3 y = -2x2 + x + 2

Vértice de una parábola f (x) = 2x2 - 3x – 2 ¿Dominio de la función? ¿Recorrido de la función?

Ejemplo de aplicación función cuadrática: Un investigador en fisiología ha estudiado el número de impulsos emitidos después que se ha estimulado un nervio y ha decidido que la función r(s ) = -s2 + 12s -20 Es un modelo matemático aceptable para describir la situación. Aquí, r es el número de respuestas por milisegundo (ms) y s es el número de milisegundos transcurridos desde que es estimulado el nervio.

¿Recorrido de la función? Ejemplo de aplicación función cuadrática: r(s) = -s2 + 12s -20 r = n° de respuestas por milisegundo (ms). s = n° de milisegundos transcurridos desde que es estimulado el nervio. ¿Dominio de la función? ¿Recorrido de la función?

Actividad Observemos la gráfica de las siguientes funciones Indica, en cada caso, las intersecciones con los ejes x e y, y las coordenadas del vértice.