Generalidades y ángulos en la circunferencia PPTCEG021EM32-A16V1 EM-32 Generalidades y ángulos en la circunferencia

Resumen de la clase anterior Recordemos la clase anterior… ¿Cuál es la diferencia entre la transversal de gravedad y la simetral de un triángulo? ¿Qué características tiene un triángulo rectángulo? ¿Qué tienen en común las alturas, transversales de gravedad, simetrales y bisectrices en un triángulo equilátero?

Aprendizajes esperados Identificar los elementos de una circunferencia y un círculo. Calcular áreas y perímetros del círculo, del sector circular y del segmento circular. Identificar y clasificar ángulos en la circunferencia, aplicando sus propiedades y teoremas. Resolver ejercicios que involucren teoremas de ángulos en la circunferencia.

Si el área se cuadruplica, ¿en cuánto debiese aumentar el radio? Pregunta oficial PSU 25. Se amarra con un cordel una vaca en la esquina de una reja con el objetivo que paste en un prado que se representa en la zona achurada de la figura 2. ¿Cuál debe ser la longitud del cordel para que al alargarlo en 10 m, el área en que puede pastar la vaca se cuadruplique? 30 m 20 m m 10 m ¿Qué relación tiene el largo del cordel con la zona achurada de la figura? Si el área se cuadruplica, ¿en cuánto debiese aumentar el radio? Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo PSU Matemática de Admisión 2016

1. Elementos de la circunferencia y del círculo 2. Área y perímetro 3. Ángulos en la circunferencia

1. Elementos de la circunferencia y del círculo 1.1 Definición •o Circunferencia Línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos equidistan (igual distancia) de un punto fijo llamado centro. Círculo Región del plano limitada por una circunferencia

1. Elementos de la circunferencia y del círculo 1.2 Radio (r) y diámetro (d) A B r d O • O: centro de la circunferencia OB: radio = r Segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella. AB: diámetro = d = 2r Es la línea recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de la circunferencia. El diámetro divide a la circunferencia en 2 semicircunferencias, es decir, Arco AB = Arco BA

1. Elementos de la circunferencia y del círculo 1.3 Cuerda y secante A B AB: Cuerda Segmento que une dos puntos distintos de la circunferencia. El diámetro es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia y tiene la mayor longitud. AB: Secante Recta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos, formando una cuerda.

O r L A 1. Elementos de la circunferencia y del círculo ┴ 1.4 Tangente Recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia. Este punto es llamado “punto de tangencia” o “punto tangencial”. L A r O O: centro de la circunferencia OA: radio A: Punto de tangencia L: Tangente OA ┴ L

1. Elementos de la circunferencia y del círculo 1.5 Arco de circunferencia Corresponde a una parte de la circunferencia. Su lectura es en sentido antihorario (contrario a los punteros del reloj). A B • AB : arco de circunferencia Los puntos A y B de la circunferencia, en ese orden, determinan el arco AB.

1. Elementos de la circunferencia y del círculo 1.6 Sector y segmento circular Sector circular A B • O r α O: centro de la circunferencia r : radio AB : arco de circunferencia Es una fracción del área del círculo determinada por dos radios y un arco. A B • O r Segmento circular O : centro de la circunferencia AB : cuerda AB : arco de circunferencia Es una fracción del área del círculo, determinada por una cuerda y un arco.

2. Área y perímetro 2.1 Área del círculo Si r es el radio, entonces: Área círculo = p ∙ r2 2.2 Perímetro de la circunferencia Si r es el radio y d el diámetro, entonces: Perímetro = 2 p ∙r ó Perímetro = p ∙ d

2. Áreas y perímetros 2.3 Longitud de un arco de circunferencia O: centro de la circunferencia A B • O r α r : radio AB : arco de circunferencia α : ángulo del centro 2 p r ∙ α 360° Longitud de arco = Un arco corresponde a una parte de la circunferencia. Luego, es una fracción del perímetro (2··r) o del arco completo (360°). En ambos casos, su medida depende del ángulo del centro que lo determina ().

2. Áreas y perímetros 2.4 Área y perímetro de un sector circular α ∙ p r2 360° Asector = A B • O r α Psector = AB + 2r 2 p r ∙ α 360° Psector = + 2r O: centro de la circunferencia r : radio AB : arco de circunferencia  : ángulo del centro

2. Áreas y perímetros 2.5 Perímetro de un segmento circular A B • O r α Psegmento = AB + AB 2 p r ∙ α 360° Psegmento = + AB O: centro de la circunferencia AB : cuerda AB : arco de circunferencia

Más información en las páginas 78 y 79 de tu libro. 2. Áreas y perímetros 2.6 Ejemplo Un círculo de radio R disminuye su tamaño, de manera que su área disminuye a la cuarta parte. Si la cuarta parte del nuevo círculo tiene un área de 16 cm², el valor de R es A) 4 cm B) 8 cm C) 16 cm D) 32 cm E) 64 cm Más información en las páginas 78 y 79 de tu libro. ALTERNATIVA CORRECTA C ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 2 y 4 de tu guía.

3. Ángulos en la circunferencia 3.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito A B • O 45° 45º Ángulo del centro: Tiene el vértice en el centro de la circunferencia y mide lo mismo que el arco que subtiende. A B • 50° 25° O: centro de la circunferencia B. Ángulo inscrito: Tiene el vértice en la circunferencia y mide la mitad del arco que subtiende.

3. Ángulos en la circunferencia • O a 2a g d 3.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito Corolario: “Si un ángulo inscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco, entonces el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito”. O: centro de la circunferencia a = g + d Además, se cumple que: a b g Si dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo arco, entonces miden lo mismo. a = b = g

. 3. Ángulos en la circunferencia 3.2 Triángulo inscrito en una semicircunferencia Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo, y su hipotenusa coincide con el diámetro de la semicircunferencia. 180° O . O: centro de la circunferencia

3. Ángulos en la circunferencia 3.3 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. a b g d 92º 110º 70º 88º a + δ = 180° g + β = 180°

3. Ángulos en la circunferencia 3.4 Teorema del ángulo exterior Si a es ángulo exterior de la circunferencia, entonces: A B a C D 2 a = AB – CD

3. Ángulos en la circunferencia 3.5 Teorema del ángulo interior Si a es ángulo interior de la circunferencia, entonces: A B a D C 2 a = AB + CD

Más información en las páginas 78 y 79 de tu libro. 3. Ángulos en la circunferencia 3.6 Ejemplo En la figura 7, M, N, P, Q y R están en la circunferencia de centro O. El valor del ángulo x es A) 42,5° B) 70° 35° D) 31,25° E) 125° Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2015. Más información en las páginas 78 y 79 de tu libro. ALTERNATIVA CORRECTA A ¡AHORA TÚ! (5 minutos) Ejercicios 8 y 10 de tu guía.

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo PSU Matemática de Admisión 2016 Pregunta oficial PSU 25. Se amarra con un cordel una vaca en la esquina de una reja con el objetivo que paste en un prado que se representa en la zona achurada de la figura 2. ¿Cuál debe ser la longitud del cordel para que al alargarlo en 10 m, el área en que puede pastar la vaca se cuadruplique? 30 m 20 m m 10 m ALTERNATIVA CORRECTA D Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Modelo PSU Matemática de Admisión 2016

Síntesis de la clase Recordemos… ¿Qué elementos de la circunferencia recuerdas? ¿Cómo calculamos el perímetro y el área de una circunferencia? ¿Qué relación tiene el ángulo del centro y el ángulo inscrito respecto a un mismo arco?

Prepara tu próxima clase En la próxima sesión, estudiaremos Ubicación de puntos, distancia y longitudes en el plano cartesiano

Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 1 B Circunferencia ASE 2 E 3 Aplicación 4 5 D 6 C 7 Comprensión 8 9 10 11 A 12

Tabla de corrección Nº Clave Unidad temática Habilidad 13 B Circunferencia Aplicación 14 D 15 E 16 17 A 18 19 20 ASE 21 22 C 23 24 25

Equipo Editorial Matemática ESTE MATERIAL SE ENCUENTRA PROTEGIDO POR EL REGISTRO DE PROPIEDAD INTELECTUAL. Propiedad Intelectual Cpech RDA: 186414

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