MATEMÁTICA Clase Combinatoria y regla de Laplace PPTC3M023M311-A16V1 Propiedad Intelectual Cpech

1. Aplicar el concepto de factorial en los ejercicios de combinatoria. 3. Resolver problemas que involucren probabilidad clásica ¿Qué Aprenderemos hoy? 2. Aplicar el concepto de probabilidad.

Resumen clase anterior Recordemos la clase anterior… ¿Qué movimientos hay que realizar en el plano si una traslación viene dada por el vector (– 3, 5)? ¿Cómo se relacionan las rotaciones positivas con las negativas y cuál es su equivalencia? ¿Cuál es la diferencia entre los reflejos dados por la simetría axial y la central?

1. Técnicas Combinatorias Combinatoria y Regla de Laplace 1. Técnicas Combinatorias Pedro tiene algunos juguetes que ya no utiliza y quiere regalarlos a sus primos porque piensa que ellos le darán un buen uso. Pedro: Les tomaré fotos a mis juguetes para que mis primos pueden verlos en Facebook, pero aún no decido cómo posicionarlos para la foto. Si Pedro agregara un juguete más, ¿cuántas fotos distintas podría tomar? Además de estas seis disposiciones, ¿existe otra que no haya sido considerada?

3 2 1 Combinatoria y Regla de Laplace 1. Técnicas Combinatorias También, es posible determinar la manera de ordenar un conjunto mediante el principio multiplicativo. Para la primera posición, Pedro tenía tres opciones (tres juguetes diferentes). Para la segunda posición, le quedan dos juguetes disponibles (ocupó uno para la primera posición). Para la tercera, utilizará el juguete restante. 3 2 1 ¿De cuántas formas se podrían ordenar cinco juguetes distintos? ¿Cuántas fotos distintas se podrán tomar con los juguetes, considerando que dos de ellos son idénticos? Corresponde al producto entre todos los enteros positivos desde 1 hasta n. en este caso se denota como n! n! = 1·2·3···(n – 2)·(n – 1) ·n Factorial

1. Técnicas Combinatorias Combinatoria y Regla de Laplace 1. Técnicas Combinatorias Estudia las cantidades de ordenamientos y/o selecciones posibles dentro de un conjunto, según determinadas condiciones. Combinatoria Consiste en ordenar n elementos de un conjunto. Permutación Con repetición Sin repetición: n! Consiste en ordenar k elementos pertenecientes a de n conjunto. Variación Sin repetición Con repetición nk Consiste en formar subconjuntos de tamaño k de un total de n elementos. Combinación Sin repetición Con repetición

1. Técnicas Combinatorias Combinatoria y Regla de Laplace 1. Técnicas Combinatorias Para identificar la técnica combinatoria que corresponde utilizar en un determinado caso, hay dos preguntas claves: ¿Se emplean todos los elementos del conjunto? ¿Importa el orden en el que se presentan los elementos? Técnica Combinatoria ¿Todos los elementos? ¿Importa el orden? Permutación SÍ Variación NO Combinación Al momento de realizar los cálculos, es importante considerar la interrogante Aunque la combinación no considera todos los elementos, existe un caso en el que sí, ¿cuántas combinaciones tiene dicho caso? ¿Hay elementos repetidos dentro del conjunto?

1. Técnicas Combinatorias Combinatoria y Regla de Laplace 1. Técnicas Combinatorias Técnica Combinatoria ¿Todos los elementos? ¿Importa el orden? Permutación SÍ Variación NO Combinación Los tres primeros lugares en un carrera de 10 participantes. Ordenar un total de 5 libros en un estante. Escoger a 5 estudiantes en un curso de 35. Elegir una clave secreta de 4 dígitos, los que pueden ir del 1 al 9. En base a la tabla, identifica cuál es la técnica combinatoria que debe emplearse en cada caso.

Método de resolución de problemas. Combinatoria y Regla de Laplace 1.1 Ejercicio PSU Carolina, Daniela, Antonia y Victoria pertenecen a un grupo. Un profesor debe elegir a dos de ellas para realizar un trabajo de matemática. ¿Cuál es el número máximo de combinaciones de parejas que se pueden formar con estas cuatro niñas? 8 2 6 12 16 Método de resolución de problemas. Comprendiendo… ¿Qué nos están preguntando? Planificando… ¿Cuál será nuestra estrategia? Ejecutando… ¡Llevemos a cabo nuestro plan! Evaluando… ¿Tiene sentido nuestro resultado? ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: Aplicación C Fuente: Modelo de Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2015

¿Cómo aplicarías el principio multiplicativo a este ejercicio? Combinatoria y Regla de Laplace 1.2 Ejercicio PSU Un taller fabrica fichas plásticas y le hacen un pedido de fichas impresas con todos los números de tres dígitos que se pueden formar con el 2, el 3, el 4, el 5 y el 6. ¿Cuál es el doble de la cantidad del pedido? 20 30 60 125 250 ¿Corresponde a una permutación, variación o combinación?¿Con o sin reposición? ¿Cómo aplicarías el principio multiplicativo a este ejercicio? ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: Aplicación E ¡AHORA TÚ! Ejercicios 2 y 5 de tu guía. Fuente: Modelo de Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2016

Combinatoria y Regla de Laplace Dentro de sus cosas, Pedro encuentra una bolsa con monedas y dados, que utilizaba para jugar con sus amigos. Además encuentra un papel que tiene escrito lo siguiente: “Elige una de las opciones. Lanza el dado, y si el número está entre los que escogiste, vencerás” Número primo Número par Número impar Múltiplo de 7 Divisor de 60 ¿Qué se puede concluir con respecto a las opciones (1), (2) y (3)? ¿Existe alguna opción de que Pedro gane si escoge la opción (4)? ¿Qué pasa si escoge la opción (5)?

Un evento imposible es el que jamás ocurre, ¿cuál es su probabilidad? Combinatoria y Regla de Laplace 2. Regla de Laplace Un experimento recibe el nombre de aleatorio cuando se conocen todos los posibles resultados con anterioridad, sin embargo, no se puede conocer el resultado exacto a menos que se realice el experimento. ¿Cuáles son los resultados posibles que podía obtener Pedro al lanzar el dado? La probabilidad de un evento, es decir, la posibilidad de que ocurra, viene dada por el cuociente entre el número de veces que ocurre el evento y el número total de posibles resultados del experimento. Un evento seguro es aquel que ocurre siempre, ¿cuál es su probabilidad? Un evento imposible es el que jamás ocurre, ¿cuál es su probabilidad?

¿Sirve solo conocer la cantidad total de fichas? Combinatoria y Regla de Laplace 2.1 Ejercicio PSU En una urna hay solo fichas de color rojo, verde y amarillo, todas del mismo tipo. Si se saca una ficha al azar de la urna, se puede determinar la probabilidad de que ésta sea roja, si se sabe que: En la urna hay 45 fichas. La razón entre la cantidad de fichas verdes y el total de fichas de la urna es 2 : 5. (1) por sí sola (2) por sí sola Ambas juntas, (1) y (2) Cada una por sí sola, (1) ó (2) Se requiere información adicional ¿Sirve solo conocer la cantidad total de fichas? ¿Se puede determinar, con esta información, la razón entre los otros colores? ¿Se puede determinar la probabilidad de obtener una ficha verde con esta información? ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: ASE E Fuente: Modelo de Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2016

Método de resolución de problemas. Combinatoria y Regla de Laplace 2.2 Ejercicio PSU Una urna contiene en total 48 fichas del mismo tipo, la mitad de ellas son de color verde y la otra mitad de color rojo. Martín saca la mitad de las fichas verdes y la tercera parte de las fichas rojas, sin devolverlas a la urna. Si luego Marcela saca una ficha de la urna, al azar, ¿cuál es la probabilidad de que la ficha sea de color rojo? 1/16 8/20 16/24 16/28 1/8 Método de resolución de problemas. Comprendiendo… ¿Qué nos están preguntando? Planificando… ¿Cuál será nuestra estrategia? Ejecutando… ¡Llevemos a cabo nuestro plan! Evaluando… ¿Tiene sentido nuestro resultado? ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: Aplicación D ¡AHORA TÚ! Ejercicios 8, 14 y 20 de tu guía. Fuente: Modelo de Prueba de Matemática, Proceso de Admisión 2014

C Síntesis de la clase Habilidad: Aplicación Con las letras A, B, C y D se forman todas las palabras, con o sin sentido, utilizando solo dos de ellas. Si de las palabras formadas se escoge una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que contenga la letra B? 100% 75% 50% 33% 25% ¿Qué preguntas hay que realizar para determinar que técnica combinatoria utilizar? ¿Cómo se define la probabilidad? ¿Qué hay que hacer para obtener la probabilidad en porcentaje? ¿Cuál es la alternativa correcta? Habilidad: Aplicación C Fuente: Archivo Editorial Matemática

Tabla de corrección Ítem Alternativa Unidad temática Habilidad 1 C Azar Comprensión 2 E 3 4 ASE 5 A 6 B 7 Aplicación 8 9 D 10

Tabla de corrección Ítem Alternativa Unidad temática Habilidad 11 E Azar Aplicación 12 B 13 A 14 C 15 D 16 ASE 17 18 19 20

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