M.C. Meliza Contreras González Unidad 1: Lógica, Conjuntos y Clases Primera parte

Cómo formalizar el lenguaje natural (i) Identificar los enunciados simples (ii) Asignar a cada enunciado simple una constante proposicional (iii) Identificar las partículas lógicas: negación, condicional, disyunción, etc. (iv) Reconstruir los enunciados complejos a partir de los simples y las partículas lógicas

Algunas formalizaciones sencillas Karina aplaude o José Luis baila o Miguel canta Karina aplaude  p José Luis baila  q Miguel canta  r p  q  r Karina aplaude, o José Luis baila y Miguel canta p  (q  r) Karina aplaude o José Luis baila, y Miguel canta (p  q)  r Karina aplaude, y, si José Luis baila, Miguel canta p  (q  r)

Algunas formalizaciones sencillas Si Karina aplaude, entonces José Luis baila si Miguel no canta. p  (¬r  q) Karina aplaude  p José Luis baila  q Miguel canta  r

Expresiones equivalentes a Y Miguel habla Y Sofía duerme Miguel habla, PERO Sofía duerme Miguel habla AUNQUE Sofía duerme Miguel habla, SIN EMBARGO, Sofía duerme Miguel habla, Sofía duerme A PESAR DE QUE Miguel habla, Sofía duerme p  q

Expresiones equivalente a O Miguel habla O Sofía duerme p  q

Expresiones equivalentes a No Gaspar NO habla NO ES EL CASO QUE Gaspar hable NO OCURRE QUE Gaspar hable NO ES CIERTO QUE Gaspar habla ¬p

Expresiones equivalentes a Si … (entonces) SI Miguel habla, (ENTONCES) Sofía duerme CUANDO Miguel habla, Sofía duerme Que Miguel hable ES SUFICIENTE PARA que Sofía duerma Que Miguel hable IMPLICA QUE Sofía duerma SIEMPRE QUE Miguel habla, Sofía duerme Sofía duerme, SI Miguel habla Sofía duerme EN CASO DE QUE Miguel hable Sofía duerme SUPUESTO QUE Miguel hable p  q

Necesario / suficiente Si llueve hoy es suficiente para que me moje pqpq Llueve hoy  p Me mojo  q Para que me moje es necesario que llueva hoy pqpq

Expresiones equivalentes a Si y Sólo Si Miguel habla SI Y SÓLO SI Sofía duerme Miguel habla CUANDO Y SÓLO CUANDO Sofía duerme Que Miguel hable EQUIVALE A que Sofía duerma Que Miguel hable ES NECESARIO Y SUFICIENTE PARA que Sofía duerma Miguel habla, EN EL CASO, Y SÓLO EN EL CASO, DE QUE Sofía duerma p  q

Tablas de verdad La sintaxis en lógica es la forma correcta de escribir una fórmula y la semántica es lo que significa. Como en lógica solamente tenemos dos valores una fórmula solamente puede ser verdadera o falsa. Para determinar su valor seguimos las reglas simples mediante interpretaciones. Una interpretación de una fórmula es un conjunto de valores que se les asignan a sus proposiciones atómicas.

Tablas de verdad Al interpretar una fórmula lo que finalmente vamos a obtener es un valor de verdad, bien sea verdadero o falso. Para encontrarlo muchas veces el proceso es laborioso porque puede estar formada por varias proposiciones atómicas. Primeramente se le asignan valores de verdad a los átomos y se puede encontrar el valor de la expresión. Si deseamos hacerlo en general, debemos analizar todas las posibilidades, esto se puede hacer construyendo una tabla de verdad.

Tabla de verdad Una tabla de verdad es un algoritmo o procedimiento que a través de la aplicación mecánica de un conjunto finito de reglas, permite definir la validez o invalidez de las inferencias. Consiste en aplicar valores de verdad en cada expresión atómica que conforma la proposición compuesta; de esta forma, cualquier renglón de la tabla para una fórmula dada p se le denomina interpretación de p.

Jerarquía de Conectivos Lógicos Negación Conjunción Disyunción Condicional Equivalencia Mayor Prioridad Menor Prioridad …

Algoritmo para construir una tabla de verdad 1. Generar una tabla donde las columnas correspondan a cada proposición simple, además de cada una de las proposiciones compuestas considerando las prioridades. 2. El número de filas es el resultado de aplicar la formula 2 n, donde n es el número de proposiciones simples. 3. Asignar valor de verdad a cada una de las columnas restantes de acuerdo al operador indicado. 4. La última columna, correspondiente a la fórmula original, es la que indica los valores de verdad posibles de la fórmula para cada caso.

Tautologías, Contradicciones y Contingencias Tautología Es una proposición compuesta que es verdadera en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de sus proposiciones simples. Contradicción Es una proposición compuesta que es falsa en todos los casos, cualquiera que sea el valor de verdad de las proposiciones simples. Incongruencia Una proposición incongruente (llamada también contingente) es una proposición compuesta que es verdadera en algunos casos y falso en otros. Su valor de verdad depende no de la forma lógica sino del valor de verdad de sus proposiciones simples.

Ejemplo de Tautología Si Isis y Osiris no son felices, entonces o Isis no es feliz o Osiris no es feliz. p= Isis es feliz q= Osiris es feliz pq p  q  (p  q) pp qq(  p  q)  (p  q)  (  p  q) VVVFFFFV VFFVFVVV FVFVVFVV FFFVVVVV

Ejemplo de Contradicción Osiris ama a Isis y Set ama a Isis, Osiris no ama a Isis p= Osiris ama a Isis q= Set ama a Isis pq p  q pp(p  q)  p VVVFF VFFFF FVFVF FFFVF