C ÁLCULO I NTEGRAL Profesor: Manuel Guillermo López Félix Multiversidad Latinoamericana Hermosillo Norte Repaso primero parcial Sexto semestre Competencias a desarrollar - Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. - Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. - Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación. - Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento. 2/mar/15

D IFERENCIAL

Considerando que la recta tangente es la mejor aproximación lineal a la gráfica de f en las cercanías del punto de tangencia P T, si le llamamos a la variación de f cuando x varía de x o a x o + h y a la variación de la recta tangente en el mismo rango de variación en x, podemos afirmar que para valores de h "cercanos" a 0, estas dos variaciones son muy parecidas, es decir, D f ∆ D R T

D IFERENCIAL Aproximación de variables En muchos problemas de orden práctico se requiere hallar el valor de f(c) de alguna función f(x) en un valor para el cual x=c. Para calcular el valor de f© se utiliza un valor de x próximo a c de manera que los valores f(x) y f’(x) se puedan calcular con exactitud. Ejercicio. Encuentra el valor aproximado de √8.5

D IFERENCIAL Estimación de errores: Otra aplicación de la diferencial tiene que ver con la determinación de errores. Los errores en el cálculo se dan a partir de pequeños errores en los datos. Ejercicio Encuentra el incremento de área del piso, que tiene forma de cuadrado, de una habitación que fue planeada para medir 6 metros por lado, pero que una vez construida su lado mide 6.005

I NTEGRALES Para obtener la integral de una función primitiva solo se tiene que sumar uno al exponente de la variable y dividir todo entre el exponente ya sumado. Ejemplo ∫x 2 dx = x 3 /3 + c A la expresión que se encuentra a la derecha del signo ∫ se llama integrando.

I NTEGRAL La integral es la operación contraria al diferencial, el integrando se tiene como entendido que proviene de un diferencial. Las constantes al derivar una función se pierden al ser cero, por lo que al integrar una función se pone en el resultado un + c indicando que es la suma de alguna constante. ∫3dx= 3x + c

I NTEGRAL Ya se conoce la integral de muchas funciones, por lo que se les denomina inmediatas, se tienen muchos formularios al respecto y es fácil identificarlas, ya sean logarítmicas, exponenciales, trigonométricas, etc. ∫sen(x)dx= -cos(x) + c

I NTEGRAL En dado caso de que nos encontremos con una función que no sea inmediata, hay varios métodos para poder encontrar el resultado. Método de sustitución o cambio de variable: En ocasiones, el cálculo de una integral complicada requiere de un cambio de su variable independiente para transformarla en una integral más sencilla de realizar, en donde podamos identificar rápidamente alguna regla de integración que nos permita resolverla Ejercicio ∫xsen(x 2 )dx

I NTEGRAL Método de integración por partes Este método es muy útil para cuando se quiere integrar el producto de dos funciones. Por lo que se obtiene la siguiente formula. ∫u· dv= u· v - ∫ v· du Ejercicio ∫ 3x sen(x)dx

I DENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS