Rectas y Planos Cálculo IV (Ing)

Ecuación de la Recta Una recta puede ser determinada, de una manera única por un punto y un vector director Eje X Eje Y Eje Z P L u

¿ Cómo sabemos que un punto P(x,y,z) está sobre la recta L? Eje X Eje Y Eje Z O P Po L tu u

Ecuaciones paramétricas de la recta L Ecuación de la recta L que pasa por el punto P0(xo,yo,zo) con vector director u=(a,b,c) El punto P(x,y,z) L si y sólo si P-Po  u, es decir, si P-Po=tu, t   (x-xo, y-yo, z-zo)=t (a,b,c). Ecuaciones paramétricas de la recta L

Ecuación simétrica de la recta L Ecuación de la recta L que pasa por el punto P0(xo,yo,zo) con vector director u=(a,b,c) Si las coordenadas del vector director u=(a,b,c) son todas no nulas, abc0 ,entonces Ecuación simétrica de la recta L

¿Qué sucede si una de las coordenadas del vector director es cero ¿Qué sucede si una de las coordenadas del vector director es cero?, ¿Cuál sería la ecuación de la recta? Si a =0 entonces Si b =0 entonces Si c =0 entonces

Posiciones relativas entre dos rectas Paralelas: Sus vectores directores son paralelos Perpendiculares: Sus vectores directores son perpendiculares Oblicuas: Cuando las rectas no son paralelas y no se intersectan . Se Cruzan: Cuando las rectas no son paralelas y se intersectan

Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos P(2,3,-4) y Q(3,-2,5) Solución: El vector director de la recta está dado por Por lo tanto, la ecuación de la recta viene dada por

Ejemplo: Encuentre la ecuación de la recta L que contiene al punto P(2,3,-2) y es paralela a la recta Solución: Dos rectas son paralelas si sus vectores directores son paralelos, por lo tanto, podemos tomar como vector director de de L el mismo vector director de la recta dada que es v=(3,6,2)

Así, tenemos el punto P(2,3,-2) y el vector director v ==(3,6,2), en tonces la ecuación de la recta es :

Ejemplo: Encuentre la intersección de las rectas Solución:debemos encontrar los valores de s y t que satisfagan las ecuaciones:

1 1 2 2 3 1 Sustituyendo los valores de t y s en , resulta:3=3 3 Por lo tanto las rectas se cruzan y el punto de intersección es (2,-1,-3)

Ecuación del Plano ¿Cómo podemos determinar, de una manera única, un plano en el espacio? Eje X Eje Y Eje Z Tres puntos no alineados Q P R

Un punto P y un vector normal N Eje X Eje Y Eje Z N N P

¿Cuál es la condición geométrica que debe satisfacer un punto P(x,y,z) para estar en el plano  que pasa por P0 y tiene como vector normal a N?

Eje X Eje Y Eje Z P (x,y,z) N P-Po P0

Ecuación del plano  que pasa por el punto P(x0,y0,z0) y es perpendicular al vector normal N(A,B,C) Un punto P(x,y,z) si y solo si esto es, Si llamamos Ecuación Normal del Plano entonces

Ejemplo: Calcular el plano que pasa por los puntos P(2,0,1), Q(1,2,0) y R(-3,2,1) Solución La ecuación del plano es

Ejemplo: Encuentre el plano que pasa por el punto P(-2,3,4) y es perpendicular a la recta que pasa por Q(4,-2,59 y R(0,2,4) Solución:El vector normal de la recta es el vector normal del plano, como la recta pasa por los puntos Q y R su vector director es Por lo tanto, la ecuación del plano es:

Ejemplo: Encontrar la ecuación del Plano que contiene a la recta y pasa por el origen. Solución: Tomemos un punto de la recta Q(3,1,2) y formemos el segmento de recta N P(0,0,0) u v Luego,

Ecuación del plano: 2x-4y-z=0

Ejemplo: Hallar la recta intersección de los planos Solución: de las ecuaciones de los planos podemos concluir que Como

Ya tenemos el vector director de la recta intersección, solo nos queda calcular un punto sobre la recta. Para calcularlo tomemos x = 0, entonces Así el punto es P(0,0,1) , y la ecuación de la recta

Ejemplo: Hallar la distancia del punto Q=(1,2,3) al plano Solución : Tomemos un punto del plano P=(1,1,1) formamos el segmento PQ=(0,1,2) , luego Q N d P