Ecuaciones diferenciales: Variables separables Unidad 3: La antiderivada Ecuaciones diferenciales: Variables separables

Razonemos juntos De la frase: “La rapidéz con que cambia el ingreso respecto al tiempo es proporcional al tiempo” ¿Cómo expresa la siguiente afirmación en términos de derivadas? ¿Qué característica se presenta en esta ecuación? A este tipo de ecuación, donde aparece la derivada de una función desconocida, se le llama ecuación diferencial.

Cálculo (Adm) - clase 2.1 Ecuación Diferencial Es aquella ecuación que implica una derivada o un diferencial, por ejemplo:

Solución de una ecuación diferencial Cálculo (Adm) - clase 2.1 Solución de una ecuación diferencial Definición: Solución de una Ec. Diferencial es una función en forma explícita o implícita que satisface la ecuación. Una caracterización completa de todas las soluciones posibles de la ecuación se denomina solución general, y una solución que satisface las condiciones alternas especificadas se denomina solución particular.

Compruebe que las funciones son soluciones Cálculo (Adm) - clase 2.1 Ejercicios: Compruebe que las funciones son soluciones de la ecuación diferencial correspondiente: y = x3 – x2 + c ; y´ = 3x2 – 2x 2. y = (3x2 + 3c)1/3 ; y´ = 2x/y2 3. y = 4000 – Be-0,2x ; y´ = 0,20(4000 – y)

El tipo más sencillo de E. D. tiene la forma: Cálculo (Adm) - clase 2.1 Caso Sencillo El tipo más sencillo de E. D. tiene la forma: Ejemplo 1 Halle la solución general de la ecuación diferencial y la solución particular que satisface y = 2 cuando x = 1.

E. D. de variables separables Una ecuación diferencial se dice que es de variable separable si puede escribirse de la forma: La solución general se obtiene integrando en ambos miembros de esta ecuación, es decir,

Halle la solución general de las ecuaciones diferenciales: Ejemplo Halle la solución general de las ecuaciones diferenciales: a. b. c. d.

Halle la solución particular de las ecuaciones diferenciales: Ejercicios: Halle la solución particular de las ecuaciones diferenciales: a. b. c.

Cálculo (Adm) - clase 2.1 Problema 1 El valor de reventa de cierta máquina industrial decrece durante un periodo de 10 años a una razón que depende de la edad de la máquina. Cuando la máquina tiene x años, la razón a la cual cambia su valor es 220(x-10) dólares al año. Exprese el valor de la máquina como función de la edad y el valor inicial. Si la máquina costaba originalmente US$12,000. ¿Cuánto costará cuando tenga 10 años?

Problema 2 Un capital K gana interés que se componen continuamente y además continuamente también se le está inyectando una cantidad I(t), de manera que la rapidez de crecimiento de K está dada por: Resuelva la ED suponiendo que

Problema 3 En cierta zona, 1500 pequeñas empresas están en peligro de quiebra. Suponga que la razón de cambio en el número de quiebras es el 6% del número de pequeñas empresas que no han quebrado aún. Si 100 empresas quebraron inicialmente, ¿cuántas quebrarán en 2 años? Para mas ejercicios, ver la guía del alumno.