Regla de Bayes Ing. Raúl Alvarez Guale, MPC

Probabilidad Total La estadística bayesiana es un conjunto de herramientas que se utiliza en un tipo especial de inferencia estadística que se aplica en el análisis de datos experimentales en muchas situaciones practicas de ciencia e ingeniería. La regla de Bayes es una de las normas más importantes de la teoría de probabilidad, ya que es el fundamento de la inferencia bayesiana.

Teorema

Ejemplo 1 Tres maquinas de cierta planta de ensamble, B 1, B 2 y B 3, montan 30%, 45% y 25% de los productos, respectivamente. Se sabe por experiencia que 2%, 3% y 2% de los productos ensamblados por cada maquina, respectivamente, tienen defectos. Ahora bien, suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado. ¿Cuál es la probabilidad de que este defectuoso?

Ejemplo 1 Solución: Considere los siguientes eventos: A: el producto esta defectuoso, B 1 : el producto fue ensamblado con la maquina B 1, B 2 : el producto fue ensamblado con la maquina B 2, B 3 : el producto fue ensamblado con la maquina B 3. Podemos aplicar la regla de eliminación y escribir: P(A) = P(B 1 )P(A|B 1 ) + P(B 2 )P(A|B 2 ) + P(B 3 )P(A|B 3 ).

Ejemplo 1 P(B 1 )=0.3 P(B 3 )=0.45 P(A|B 1 )=0.02 % Montaje x máquina % defectuoso P(A) = = P(B 2 )=0.45 P(A|B 2 )=0.03 P(A|B 3 )=0.02

Ejemplo 2 Resolver el Ejemplo 1: ¿Cuál es la probabilidad de que este defectuoso?

Ejemplo 2 P(B 1 )=0.3 P(B 3 )=0.45 P(A|B 1 )=0.02 % Montaje x máquina % defectuoso P(A) = = P(B 2 )=0.45 P(A|B 2 )=0.03 P(A’|B 2 )=0.97 P(A’|B 1 )=0.98 P(A|B 3 )=0.02 P(A|B 3 )=0.98

Teorema

Ejemplo 3 Con referencia al ejemplo 1, si se elige al azar un producto y se encuentra que esta defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido ensamblado con la máquina B3?

Ejemplo 3

P(B 1 )=0.3 P(B 3 )=0.45 P(A|B 1 )=0.02 % Montaje x máquina % defectuoso P(B 2 )=0.45 P(A|B 2 )=0.03 P(A|B 3 )=0.02

Ejemplo 4 Una empresa de manufactura emplea tres planos analíticos para el diseño y desarrollo de un producto especifico. Por razones de costos los tres se utilizan en momentos diferentes. De hecho, los planos 1, 2 y 3 se utilizan para 30%, 20% y 50% de los productos, respectivamente. La tasa de defectos difiere en los tres procedimientos de la siguiente manera, P(D|P1) = 0.01, P(D|P2) = 0.03, P(D|P3) = 0.02

Ejemplo 4 en donde P(D|Pj) es la probabilidad de que un producto este defectuoso, dado el plano j. Si se observa un producto al azar y se descubre que esta defectuoso, ¿cual de los planos tiene mas probabilidades de haberse utilizado y, por lo tanto, de ser el responsable?

Ejemplo 4 Solución: A partir del planteamiento del problema P(P1) = 0.30, P(P2) = 0.20 y P(P3) = 0.50, debemos calcular P(Pj|D) para j = 1, 2, 3. La regla de Bayes (teorema) muestra

Ejemplo 4

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