AXIOMATIZACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (IN) 1 Axiomas / Postulados Definiciones Aritmética de IN Cuatro postulados de Peano Propiedades (teoremas) Definiciones Giuseppe Peano

Profesor – investigador en la Universidad de Turín 1886 Profesor Academia Militar de Turín 1889 Arithmetices principia, nova methodo exposita 1891 Funda la Rivista di Matematica 1895 – 1908 Formulario mathematico “Buscando la precisión del razonamiento, utilizaba grandes dosis de simbolismo. Así,  significa pertenerce a;  significa implica; N denota la clase de los números naturales, y a+ el número natural que viene a continuación de a” (Kline, 2012, p. 1304) “Peano utilizó este simbolismo en su presentación de todas las matemáticas (…) y también en sus clases, lo que provocó una revuelta de los estudiantes. Trató entonces de satisfacerles aprobándoles a todos, pero esto no funcionó, y fue obligado a renunciar a su puesto de profesor en la academia militar” (Idem) Giuseppe Peano 2

Profesor – investigador en la Universidad de Turín 1886 Profesor Academia Militar de Turín 1889 Arithmetices principia, nova methodo exposita 1891 Funda la Rivista di Matematica 1895 – 1908 Formulario mathematico 1900 Congreso Internacional de Filosofía (París) Bertrand Russell “El congreso fue el punto de giro de mi vida intelectual, ya que allí conocí a Peano. Ya había oído hablar de él y había leído alguno de sus trabajos, pero no me había tomado la molestia de comprender su notación. En las discusiones del congreso observé que era más preciso que ningún otro y que invariablemente sacaba la mejor parte de cualquier argumentación en la que se embarcaba. Según pasaban los días, decidí que se debía a su lógica matemática.... Se me hizo claro que su notación proporcionaba un instrumento de análisis lógico que había estado buscando durante años...” Giuseppe Peano 3

AXIOMATIZACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (IN) Se parte de la existencia de un sistema (IN, *), compuesto por: (i) Un conjunto IN (ii) Una función * : IN  IN; función sucesor. 4 Cuatro postulados de Peano

AXIOMATIZACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (IN) estos cuatro postulados Con estos cuatro postulados se puede construir toda la aritmética de los números naturales. NOTACIÓN: El sucesor de 0 es 1: 0* = 1; 1* = 2; 2* = 3, 3* = 4, etc. DEFINICIÓN: m = n* sii n es el antecesor de m; m, n  IN. TEOREMA ii: TEOREMA ii: El antecesor de m de un natural distinto de cero es único. TEOREMA i: TEOREMA i: Todo m  IN – {0} tiene un antecesor. 5

AXIOMATIZACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (IN) estos cuatro postulados Con estos cuatro postulados se puede construir toda la aritmética de los números naturales. TEOREMA iv: TEOREMA iv: Si D es un segmento inicial con elemento maximal m*, entonces D-{m*} es un segmento inicial con elemento maximal m. TEOREMA iii: TEOREMA iii: Si D es un segmento inicial con elemento maximal m, entonces D  {m*} es un segmento inicial con elemento maximal m*. 6 DEFINICIÓN: Un conjunto D  IN es un segmento inicial de IN sii cumple (1)0  D (2)Si n  IN es tal que n*  D, entonces n  D. (3)  ! m  D tal que m*  D (m se llama elemento maximal de D) TAREA

AXIOMATIZACIÓN DEL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES (IN) estos cuatro postulados Con estos cuatro postulados se puede construir toda la aritmética de los números naturales. DEFINICIÓN A.1.2: El segmento inicial D m del lema anterior se llamará segmento inicial determinado por m. LEMA A.1.1: LEMA A.1.1: Para cada m  IN, existe un único segmento inicial D m con elemento maximal m. 7