Tema central: Distancia entre dos puntos Título: Aplica las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos.

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procesos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicado a diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemático y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. Cuantifica y representa magnitudes en segmentos y polígonos identificados en situaciones reales, hipotéticas o teóricas. Construye e instruye modelos relacionados con segmentos y polígonos mediante la resolución de problemas de situaciones reales, hipotéticas o teóricas. Interpreta diagramas y textos con símbolos propios de segmentos y polígonos.

Javier hace 4 viajes alrededor del kiosco de su pueblo. En la siguiente imagen se muestra la ubicación de cada uno de ellos. Segmentos rectilíneos dirigidos y no dirigidos Responde: 1.¿Cuánto recorrió para llegar desde el kiosco a la escuela? 2.¿Y desde el kiosco al teatro? 3.¿Cuál es la diferencia entre ellas? 4.Si Javier se dirige hacia su casa y a 3 m de llegar a ella, decide dirigirse a la estación, ¿cuál es la diferencia de la distancia entre estos puntos? 5.Si Javier se encuentra en su casa y decide recortar camino hacia la escuela, ¿qué distancia deberá recorrer? 25 m

En la actividad anterior utilizaste un segmento dirigido para indicar los lugares a los que se desplazó Javier. Todos tienen la misma longitud, pero la diferencia es el sentido en el que están medidos. Segmentos rectilíneos dirigidos y no dirigidos Observa que cuando en una recta numérica indicamos el sentido para calcular la longitud entre dos puntos, nos referimos a un segmento dirigido P Q Distancia de P a Q = P Q Distancia de P a Q = -5 El modo más sencillo para calcular la distancia entre dos puntos, por ejemplo, P(3) y Q(5) de la siguiente recta numérica, sería contar cada uno de los números que existen entre ellos, sin embargo, se complica cuando los dos puntos no son enteros P Q

Para encontrar el resultado solo debemos obtener el valor absoluto de la diferencia que existe entre ellos, sin importar su posición en la recta numérica: Segmentos rectilíneos dirigidos y no dirigidos Si trazarás una línea entre ellos tendrías un segmento cuyo valor sería la distancia entre ambos puntos. Cuando calculamos la distancia sin importar el sentido se dice que se tiene un segmento no dirigido. Esto significa que la distancia medida x 2 a x 1 es la misma que de x 1 a x 2. Ejemplo: Calcula la longitud de los segmentos no dirigidos dados por estos pares de puntos: a)A(7) y B(9) b)C(-8) y D(4) c)Q(-3) y R(-9) d)S(3/5) y P(-8/3)

Consideremos para el primer caso lo siguiente: x 1 = 7 y x 2 = 9 entonces: d = │7 – (9)│ = │7 – 9│ = │– 2│ = 2 x 1 = 7 y x 2 = 9 entonces: d = │7 – (9)│ = │7 – 9│ = │– 2│ = 2 Segmentos rectilíneos dirigidos y no dirigidos Así, concluimos que la distancia no dirigida que existe entre A(7) y B(9) es igual a 2. El resultado es positivo por el valor absoluto.

José y Raúl, después de estar hablando por celular, deciden encontrarse en la escuela donde asisten, la cual se sitúa en un plano cartesiano y tiene como coordenadas: E(-2, 5), José vive en J(5, 3) y sigue el camino EJR con R(2, 0). Raúl vive en B(-5, -2) y recorre el camino BE (se supone que ambos salen al mimo tiempo y que caminan a la misma velocidad). Determina: a)¿Quién llegará primero a la escuela? b)Si José, que viven en J, hubiera seguido el camino JE, ¿qué distancia habría recorrido? E(-2, 7) J(5, 3) R(2, 0) Ruta de José para llegar a la escuela Ruta de Raúl para llegar a la escuela B(-5, -2)

Una línea recta se puede visualizar como la distancia más corta entre dos puntos; es decir, para trazar una recta sólo se necesitan dos referencias en el sistema de coordenadas. Pero se debe entender que una recta se prolonga hasta el infinito, es decir, no tiene fin. Por esa razón se suele trabajar con porciones o segmentos de recta. Por ejemplo: la recta y = 3x – 2 tiene la gráfica siguiente: Observa que la gráfica podría seguir hacia arriba o hacia abajo sin fin. Un segmento de dicha recta se marca en azul y se encuentra entre los puntos: A(0, 2) y B(2, 4); es decir, tiene principio y fin.

La longitud de un segmento se obtiene calculando la distancia entre los puntos inicial y final. Ahora bien, la distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas: 1. Supongamos que los puntos P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ), son extremos de un segmento que ambos están localizados de manera general en un plano y que pertenecen a una misma recta horizontal (paralela al eje X), la distancia entre éstos es: Fórmulas de la distancia dirigida de P 1 a P 2 o de P 2 a P 1 Fórmulas de la distancia dirigida de P 1 a P 2 o de P 2 a P 1 P 1 P 2 = x 2 - x 1 P 1 P 2 = x 2 - x 1 P 2 P 1 = x 1 - x 2 P 2 P 1 = x 1 - x 2 La fórmula de la distancia no dirigida es: La fórmula de la distancia no dirigida es: P 1 P 2 = (x 2 - x 1 ) = (x 1 - x 2 ) P 1 P 2 = (x 2 - x 1 ) = (x 1 - x 2 ) 2. La distancia entre dos puntos cualesquiera del plano o la longitud del segmento de recta que los une se puede determinar a partir de las coordenadas de ambos. Supongamos dos puntos dados cualesquiera P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ). Para calcular la distancia entre ellos d = │P 1 P 2 │, primero se traza por P 1 una horizontal y por P 2 una vertical y se denomina R al punto de intersección de dichas rectas: P(x 1, y 1 ) Q(x 2, y 2 ) R(x 2, y 1 )

Al aplicar el Teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo PRQ se tiene: (PQ) 2 = (PR) 2 + (RQ) 2 (PQ) 2 = (PR) 2 + (RQ) 2 P(x 1, y 1 ) Q(x 2, y 2 ) R(x 2, y 1 )