Generación jerárquica de puntos, curvas d-offset y ploteo de curvaturas asociado a un A-spline cúbico Wilfredo Morales Lezca Wilfredo Morales Lezca Facultad de Matemática y Computación Universidad de la Habana

Antecedentes Desarrollo de bases teóricas de un esquema A-spline cúbico a partir del cual se aporta un conjunto de algoritmos que resuelven eficientemente un conjunto de problemas de CAGD.

Bondades Interpolación de puntos con vectores tangentes y valores de curvatura prescritos, sin imponer restricciones como las que aparecen en trabajos anteriores ( (Baj01), (Meek03), etc.) Cada sección del A-spline cuenta con un parámetro libre empleado para interpolar un punto adicional o para controlar la distancia de la sección del A-spline al segmento que une sus puntos extremos. Control local del cálculo de los parámetros que determinan cada sección del A-spline lo que aporta una gran flexibilidad para cambiar los datos de entrada y, consecuentemente, actualizar la curva A-spline. Solución del problema y graficación de su solución secuencialmente en tiempo real.

Pendientes Contar con herramientas apropiadas para el ploteo de curvaturas de las curvas A-spline. Cálculo de las curvas d-offset asociadas al A-spline. Estudio del “fairness”.

Inconvenientes Los puntos sobre la curva son generados sin respetar el orden del recorrido de la curva. Para generar una buena aproximación del gráfico de la curva es necesario calcular un número muy grande de puntos.

Objetivos del Trabajo Elaboración de un nuevo algoritmo para generar puntos sobre la curva A-spline de forma jerárquica. Resolver los dos inconvenientes ya señalados. Generar eficientemente una sucesión de aproximaciones lineales a la curva A-spline, al gráfico de su ploteo de curvatura y a la curva d-offset asociada.

Algoritmo de Trabajo Dados dos puntos del A-spline, generar un punto intermedio sobre la curva, de forma jerárquica. Dado un punto de la curva, calcular puntos sobre la curva d-offset. Dado un punto sobre la curva, calcular la curvatura en dicho punto. Subproblemas

Invarianza Teorema 1.La relación de paralelismo entre dos rectas que pasan por puntos interiores de un triángulo es invariante al cambio de coordenadas baricéntricas uv (respecto al triángulo) a coordenadas reales xy y viceversa. 2.Dada una curva cúbica y un punto sobre la curva, expresados ambos en coordenadas baricéntricas, la recta tangente a la curva en el punto en este sistema de coordenadas tiene como imagen la recta tangente a la curva en el punto, expresados ahora ambos en coordenadas reales.

Subproblema 1 Dados dos puntos del A-spline, generar un punto intermedio sobre la curva.

Subproblema 1 Dados dos puntos del A-spline, generar un punto intermedio sobre la curva.

Subproblema 1

Blossom Jerárquico Triángulos 7701 Puntos Triángulos 1276 Puntos 93

Subproblema 1 BLOSSOMJERÁRQUICO CasosTriángulosPuntosTriángulosPuntos

Subproblema 1 Subproblema 1 Proposición Proposición

Subproblema 2 Dado un punto de la curva, calcular puntos sobre la curva d-offset. } }

Subproblema 3 Dado un punto sobre la curva, calcular la curvatura en dicho punto.

Técnicas clásicas (segmentación, dilatación condicional, erosión) de procesamiento de imágenes, para mejorar la calidad, para obtener puntos que describen el contorno [Sah88], [Dou92], [Gon92]Ajuste [Her02] FITTING A CONIC A-SPLINE TO CONTOUR IMAGE DATA V. Hernández Mederos, D. Martínez Morera y J. Estrada Sarlabous

Ajuste Datos de entrada Cálculo de los puntos representativos del contorno de una imagen digital Hallazgo del polígono de control del A-spline cúbico Cálculo de las direcciones tangentes en cada vértice de la poligonal. Cálculo de los valores de curvatura asociados a cada vértice de la poligonal. Ajuste de los datos dentro de cada triángulo del polígono de control. [Her02]

Ajuste

Ajuste

Ajuste Ajuste

Ecuación de cuarto grado en variable por [Beh09], su solución existe y es única Selecionados los que pertenecen a la región de interés Evaluamos en la ecuación del A-spline si Sea el centro de masa del triángulo si

¿A-spline Fair? [Lev09] Interpolating Splines: Which is the fairest of them all? Raph Levien and Carlo H. Séquin Extensionalidad (al adicionar datos, la curva original no varía significativamente) Redondez (reproducción de arcos de círculos) Curvatura monótona Alto grado de continuidad

Conclusiones En este trabajo se presentan nuevos algoritmos para graficar curvas A-spline cúbicas y para el ajuste de contornos de imágenes digitalizadas se logró una versión más actual y poderosa con ventajas sobre los a realizados anteriormente dentro del grupo de investigación. Las soluciones obtenidas para los tres subproblemas en que se subdividió este algoritmo permiten, sin mucho costo computacional, obtener aproximaciones del gráfico de la curva A–spline, del ploteo de curvaturas y del de la curva d- offset del A-spline. Los resultados de este trabajo encuentran aplicación en la solución de diversos problemas del CAGD.

FINGracias

Respuestas a la oponencia ¿Puede explicar la relación entre la C k -continuidad y la G k -continuidad en los casos k=1,2? G k -continuidad: para k arbitrario todos los invariantes geométricos de orden menor o igual que k varían continuamente a lo largo de la curva. G 1 -continuidad: la tangente varia continuamente. G 2 -continuidad: la curva es G 1 y la curvatura varia continuamente. No está vinculada a ninguna parametrización

Respuestas a la oponencia ¿Puede explicar la relación entre la C k -continuidad y la G k -continuidad en los casos k=1,2? Depende de la parametrización

Respuestas a la oponencia ¿Puede explicar la relación entre la C k -continuidad y la G k -continuidad en los casos k=1,2? No presenta singularidades

Respuestas a la oponencia ¿Puede explicar la importancia de la invarianza de la relación de paralelismo en el cambio de coordenadas reales a baricéntricas y viceversa?

Ajuste ¿Puede explicar la relación entre la C k -continuidad y la G k -continuidad en los casos k=1,2? ¿Puede explicar la importancia de la invarianza de la relación de paralelismo en el cambio de coordenadas reales a baricéntricas y viceversa?