Ecuaciones e inecuaciones UNIDAD 03 Ecuaciones e inecuaciones 1. Ecuaciones de primer grado 2. Ecuaciones de segundo grado 3. Ecuaciones bicuadradas 4. Ecuaciones con fracciones algebraicas 5. Ecuaciones irracionales 6. Inecuaciones 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

1. Ecuaciones de primer grado ECUACIONES E INECUACIONES 1. Ecuaciones de primer grado La expresión general de una ecuación de primer grado es: ax + b = 0 donde a y b son números reales con a  0 y x es la incógnita. La solución general de este tipo de ecuaciones es: 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

1. Ecuaciones de primer grado ECUACIONES E INECUACIONES 1. Ecuaciones de primer grado 3x – 9 = 6x – 6 Se transponen los términos  3x – 6x = – 6 + 9 Se reducen los términos semejantes  – 3x = 3 Se despeja la incógnita  x = – 1 Se comprueba la solución: 3 (– 1) – 9 = 6 (– 1) – 6  – 12 = – 12 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

1. Ecuaciones de primer grado ECUACIONES E INECUACIONES 1. Ecuaciones de primer grado Si en las ecuaciones de primer grado aparecen fracciones y paréntesis, se comienza eliminando el paréntesis.   m.c.m.(18, 12, 10) = 180  20 – 10x – 15 + 15x = 180 + 36x – 72 – 31x = 103  4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

1. Ecuaciones de segundo grado ECUACIONES E INECUACIONES 1. Ecuaciones de segundo grado La expresión general de una ecuación de segundo grado es: ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a  0. Las soluciones son: La expresión b2 – 4ac se denomina discriminante y su signo nos indica el número de soluciones de la ecuación: 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

1. Ecuaciones de segundo grado ECUACIONES E INECUACIONES 1. Ecuaciones de segundo grado La suma, s, y el producto, p, de sus soluciones de una ecuación de segundo grado cumplen las siguientes condiciones: La forma canónica para la ecuación de segundo grado es: x2  sx + p = 0. 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

2. Ecuaciones bicuadradas ECUACIONES E INECUACIONES 2. Ecuaciones bicuadradas La expresión general de una ecuación bicuadrada es de la forma ax4 + bx2 + c = 0, donde los coeficientes a, b y c son números reales, con a ≠ 0. Las soluciones se obtienen tras realizar el cambio x2 = t 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

2. Ecuaciones bicuadradas ECUACIONES E INECUACIONES 2. Ecuaciones bicuadradas 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

3. Ecuaciones con fracciones algebraicas ECUACIONES E INECUACIONES 3. Ecuaciones con fracciones algebraicas Estas ecuaciones contienen fracciones algebraicas. Para resolverlas hay que eliminar los denominadores, reduciéndolas a común denominador: 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

4. Ecuaciones irracionales ECUACIONES E INECUACIONES 4. Ecuaciones irracionales En estas ecuaciones la incógnita aparece dentro de alguna raíz. Para resolverlas se aísla la raíz en un miembro y se elevan al cuadrado los dos miembros de la ecuación. 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

: menor o igual : mayor o igual ECUACIONES E INECUACIONES 5. Inecuaciones Una inecuación es una desigualdad entre expresiones algebraicas. Los signos de desigualdades son: <: menor >: mayor : menor o igual : mayor o igual 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

ECUACIONES E INECUACIONES Al resolver una inecuación se deben tener en cuenta los siguientes principios de equivalencia: Si intercambiamos todos los términos de una inecuación, se modifica su sentido. Ejemplo: 2x + 3 > x  4  x  4 < 2x + 3 - Si sumamos o restamos un mismo número en los dos miembros de una inecuación, la inecuación resultante es equivalente a la primera, por lo que no cambia el sentido de la desigualdad. Ejemplo: 3x  1 > 9  3x  1 + 1 > 9 + 1  3x > 10 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

ECUACIONES E INECUACIONES - Si multiplicamos o dividimos todos los términos de una inecuación por una cantidad positiva, no se altera el sentido de la desigualdad. Ejemplo: 3x > –6  · 3x > · (–6)  x > –2 - Si multiplicamos o dividimos todos los términos de una inecuación por una cantidad negativa, cambiamos el sentido de la desigualdad. Ejemplo: – 2x  –5  – · (–2x)  – · (–5)  x  Las soluciones de las inecuaciones son intervalos. 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

5.1. Inecuaciones de primer grado con una incógnita ECUACIONES E INECUACIONES 5.1. Inecuaciones de primer grado con una incógnita La expresión general de una inecuación de primer grado con dos incógnitas es: ax + b > 0 donde los coeficientes a y b son números reales, con a  0, pudiendo aparecer cualquiera de los cuatro signos de desigualdad. La solución es un intervalo dentro de la recta numérica. 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

5.1. Inecuaciones de primer grado con una incógnita ECUACIONES E INECUACIONES 5.1. Inecuaciones de primer grado con una incógnita 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

5.2. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas ECUACIONES E INECUACIONES 5.2. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas La expresión general de una inecuación de primer grado con dos incógnitas tiene la forma: ax + by + c > 0 donde los coeficientes a, b y c son números reales, con a y b no nulos, pudiendo aparecer cualquiera de los cuatro signos de desigualdad. La solución es un semiplano dentro del plano afín. 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

5.2. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas ECUACIONES E INECUACIONES 5.2. Inecuaciones de primer grado con dos incógnitas 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

5.3. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita ECUACIONES E INECUACIONES 5.3. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita La expresión general de una inecuación de segundo grado con una incógnita tiene la forma: ax2 + bx + c > 0 donde los coeficientes a, b y c son números reales, con a ≠ 0. Puede aparecer cualquiera de los cuatro signos de desigualdad. 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS

5.3. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita ECUACIONES E INECUACIONES 5.3. Inecuaciones de segundo grado con una incógnita 4º ESO-OPCIÓN B | UNIDAD 03 | MATEMÁTICAS