2 Para empezar se sobrepone una cuadrícula rectangular sobre la región D, como se muestra en la figura. Partición Interna ∆ Los rectángulos que se encuentran completamente dentro de D forman una Partición Interna ∆ Consideremos una función continua z = f (x, y) tal que z > 0, en una región D del plano XY. Se pretende hallar el volumen de la región sólida comprendida entre f(x,y) y el plano XY, como se muestra en la figura. D x y z D x y z

3 Ahora bien, si el área de i-énesimo rectángulo es: Entonces, el volumen de i-énesimo prisma es: la longitud de la diagonal principal del rectángulo más grande. La Partición, no regular, Interna ∆(Delta) de la región D, la cual está determinada por la subdivisión de está en “n” rectángulos como vemos en la figura, cuya norma es está definida como: la longitud de la diagonal principal del rectángulo más grande. prisma rectangular Luego, se elige un punto en cada rectángulo y se forma el prisma rectangular cuya altura es x y z D

4 como se muestra en la figura. En las figuras: volumen de la región sólidasuma de Riemann Por lo tanto, el volumen de la región sólida se puede aproximar por la suma de Riemann de los volúmenes de todos los “n” prismas de la forma: La aproximación se puede mejorar tomando cuadrículas con rectángulos más y más pequeños x y z x y z

5 Sea z= f (x,y) una función de dos variables definida en un rectángulo cerrado D. Si existe Doble Integral Se dice que f es integrable en D., Y la Doble Integral de f sobre D está dada por Ilusiones Ópticas: Parece que los círculos se mueven

integral doble La integral doble de una función no negativa en dos variables se interpreta como el volumen bajo la superficie z = f (x, y) y sobre la región D del plano x y. Prisma rectangular cuya base tiene un área de ∆ A i y cuya altura es f (x i, y i ) Volumen aproximado por prismas rectangulares x y z Región D z = f (x,y) x y z

7 El método práctico para evaluar las integrales dobles es expresarlas como integrales iteradas, de la manera siguiente : TEOREMA DE FUBINI Sea f continua en una región plana D. Entonces: 1. Si D está definida por a ≤ x ≤ b y g 1 (x) ≤ y ≤ g 2 (x), donde g 1 y g 2 son continuas en [a,b], se tiene que: 2.Si D está definida por c ≤ y ≤ d y g 1 (y) ≤ x ≤ g 2 (y), donde g 1 y g 2 son continuas en [c,d], se tiene que: TEOREMA DE FUBINI Sea f continua en una región plana D. Entonces: 1. Si D está definida por a ≤ x ≤ b y g 1 (x) ≤ y ≤ g 2 (x), donde g 1 y g 2 son continuas en [a,b], se tiene que: 2.Si D está definida por c ≤ y ≤ d y g 1 (y) ≤ x ≤ g 2 (y), donde g 1 y g 2 son continuas en [c,d], se tiene que:

Calcular : donde Solución: Resolvemos con el orden de integración indicado 8 Ilusión Óptica: Este marco es perfectamente cuadrado

Ahora resolvemos cambiando el orden de integración indicado 9

10 Sean f, g dos campos escalares integrables en D ⊂ R 2, sea α R: ∈ Linealidad Acotación Aditividad

Volumen Volumen Centro de Masa y Momentos y Momentos Área región plana Área región plana El cuadrado A es exactamente del mismo color que el cuadrado B.

Escher nació un 17 de Junio de 1898 en Leeuwarden (Holanda). Como la mayoría de los genios, no fue un estudiante destacado en el colegio, a pesar de lo cual su talento artístico ya se vislumbraba en este periodo. Su padre le introdujo al mundo de la carpintería y le enseño otras habilidades manuales. Comenzó los estudios de Arquitectura, pero una vez allí, Escher se dió cuenta de que su auténtica pasión eran las artes gráficas. Tras dos años en la escuela de arte, obtuvo una especialización en técnicas gráficas y trabajo sobre madera y se dedicó a viajar por el sur de Francia, España e Italia, lugares donde encontró numerosas fuentes de inspiración para su obra. A lo largo de su carrera como artista, Escher reflejó su predilección por la estructura de las construcciones en detrimento del paisaje en sí. Su visión única del espacio y de las matemáticas le permitieron dibujar una numerosa colección de fantásticos dibujos hasta su muerte en 1972.

años Torre de babel años Otro Mundo II años Depth años Columnas Dóricas años Manos Dibujando años Ascenso y descenso