EL PROBLEMA DE LA MEDICIÓN Naturaleza imprecisa de la medida Tipos de errores Error asociado a una medida directa Error asociado a una medida indirecta Ejemplos prácticos de juguete y reales LOS NÚMEROS EXPERIMENTALES

Números “matemáticos” Provienen de definiciones o expresiones analíticas Objetivo de una medición: Naturaleza imprecisa de la medida Números “experimentales” (estadísticos o físicos) Se leen en instrumentos de medición imperfectos Los proporcionan procesos no totalmente controlables Componente subjetiva Componente estocástica Conocer un valor aproximado de la magnitud y la cota de imprecisión asociada (error): Técnica utilizada: Múltiples medidas de las que se toma la media como valor aceptable. x  xx  x xi  xixi  xi x  xx  x  _

“Diseño” de un número experimental Algoritmo: SI la primera cifra significativa de  x = 1 /\ la segunda cifra significativa de  x  5 ENTONCES Se toman 2 cifras significativas para  x SINO Se toma 1 cifra significativa para  x Se redondea el valor x según el número de cifras de  x La magnitud del error  x condiciona el valor del número. Suponemos conocidos valor x y su error asociado  x. Ejemplos: 4125             x =  x =  x =  x = 

FIABILIDAD: Diferencia entre la media de las medidas y el valor aceptado (por otros métodos de medida). Se producen siempre, suelen conservar magnitud y el sentido. Dan lugar a sesgo en las medidas. El valor del error sistemático del método PRECISIÓN: Es el valor del error relativo. valor medio  valor medido  cota de imprecisión de cada medida SENSIBILIDAD: El valor más pequeño de la magnitud que puede ser medido por el método o instrumento utilizado. Relación entre el error absoluto de una medida y su valor. (  r x =  x / x  100 ) Definiciones (está directamente relacionado con el error absoluto asignable a cada medida individual) Errores aleatorios: se producen de un modo irregular, variando en magnitud y sentido sin un patrón predecible.

Depende del número de medidas realizadas  ¿Cuántas medidas tomar? Depende de la dispersión de las primeras mediciones. * Con estas mediciones, el valor de la magnitud es el valor promedio, x Algoritmo: Realizar 3 mediciones Calcular su media  0 Calcular su dispersión d 0 = | max i x i - min i x i | CASO d = 100 · d 0 /  0 HACER d < 1% :  =  0 1%  d < 5% : tomar 6 medidas y promediar 5%  d < 10% : tomar 15 medidas y promediar d  10 % : tomar 30 medidas y promediar FIN_CASO Error asociado a una medida directa _

 = max {  d,  } SINO SI se tomaron menos de 15 mediciones ENTONCES ERROR DE DISPERSIÓN:  d = d / 4 ERROR ABSOLUTO MEDIO: Error asociado a una medida directa Error asignable: * Ya tenemos el valor de la magnitud, , ahora falta su error asociado Algoritmo: SI tenemos una sola medida ENTONCES SI no conocemos la sensibilidad del aparato ENTONCES  r = 5% SI es una medida obtenida por recuento ENTONCES  =  x Ejemplo: x 1 = 12,5 x 2 = 12,23 x 3 = 12,42 x 4 = 12,36  d = 0,  = 0,0825 _  = 0,0825  0,08 x = 12,3775  0,0825 = 12,38  0,08 x = 12,3775 _

SINO SI se tomaron 15 o más mediciones ENTONCES Considerar errores estadísticos: (< 30) DESVIACIÓN ESTÁNDAR MUESTRAL:  n-1 = (  30) DESVIACIÓN ESTÁNDAR POBLACIONAL:  n = Error asociado a una medida directa Error asignable: * Ya tenemos el valor de la magnitud, , ahora falta su error asociado Sigue algoritmo:

Error asociado a una medida directa Ejemplo: Medición de las coordenadas de posicionamiento global de la puerta de mi casa. Según un GPS portátil…….: x = ( N38º 24’ 46”, W0º 28’ 48” )  1” Según el GPS de mi coche.: x = ( N38º 24’ 48”, W0º 28’ 47” )  1” Según Google Earth……….: x = ( N38º 24’ 48.4”, W0º 28’ 46.5” )  0.1” Tengo, por tanto, tres mediciones: x = ( N38º 24’ ”, W0º 28’ ” )  x = ERROR DE DISPERSIÓN:  d = d / 4 = (2.4,1.5)” / 4 = (0.6,0.375)” ERROR ABSOLUTO MEDIO:  = ( )” / 3 = 0.7” _ x = ( N38º 24’ 47.5”, W0º 28’ 47.2” )  0.7”

MI = f ( MIs, MDs ) Medida indirecta (MI) ; Medida directa (MD)  MI = f (  MDs,  MIs, MDs, MIs, Ctes,  Ctes ) Constantes irracionales Método Directo: Métodos de propagación de errores: Se conocen todos los errores y medidas. No hay constantes irracionales Si z = f ( x, y,... )  se aplican derivadas: y se asimilar a errores: Expresión fundamental del cálculo de errores Error asociado a una medida indirecta Medición indirecta es aquella que realizando la medición de una variable, podemos calcular otra distinta, por la que estamos interesados.

Supongamos que queremos calcular la altura de un edificio, midiendo la altura de otro objeto. Para ello: Si Error asociado a una medida indirecta Ejemplo: Entonces: Y por tanto: h o = 1,345  0,001 m s o = 0,285  0,001 m s e = 15,28  0,01 m h e = 72, m  h e = 0,  0,4 m h e = 72,1  0,4 m

Error asociado a una medida indirecta En la expresión aparecen medidas con errores conocidos Hay constantes irracionales Hay magnitudes con errores desconocidos Se sustituyen todas las magnitudes y constantes de error desconocido por sus valores expresados con 2 cifras significativas. Sea A =  de los errores conocidos Sea T = error de cada uno de los términos de los que se desconoce el error. Sea n = el número de términos de los que se desconoce el error. Con estas asignaciones la expresión de  z queda  z = A + nT Se impone nT = 0.1 A (los errores desconocidos sólo afectan a la segunda cifra significativa) Entonces: T = 0.1 A / n (que sirve para estimar los errores desconocidos) Método semidirecto:

Para un  z fijo Se quiere conocer con qué precisión (margen de error) tomar las magnitudes o constantes de error desconocido Se fija  z Se opera de manera similar al semidirecto  z = A + nT luego T = (  z  A) / n de donde se calculan los errores particulares (sólo sirve si  z > A) Error asociado a una medida indirecta Método inverso:

ERROR CUADRÁTICO: Alternativa al lineal Da más peso a los errores más grandes Error asociado a una medida indirecta Si z = f ( x, y,... )  análogamente: Con el mismo ejemplo anterior: h o = 1,345  0,001 m s o = 0,285  0,001 m s e = 15,28  0,01 m h e = 72, m  h e = 0,  0,3 m h e = 72,1  0,3 m en el lineal: 0,4 m

Resultados publicados: Ejemplo práctico (MIREX 2007) Audio genre classification Participant Avg. Hierarchical Classif. Accuracy Avg. Raw Classif. Accuracy IM_svm76.56%68.29% TL75.57%66.71% ME75.03%66.60% GT74.15%65.34% ME_spec73.57%65.50% GH71.87%62.89% IM_knn64.83%54.87% Resultados que deberían haberse publicado: Participant Avg. Hierarchical Classif. Accuracy Avg. Raw Classif. Accuracy IM_svm  0.54 %68.29  0.96 % TL  0.59 %66.71  0.93 % ME  0.37 %66.60  0.71 % GT  0.40 %65.34  0.20 % ME_spec  0.70 %65.50  1.11 % GH  0.27 %62.89  0.47 % IM_knn  0.22 %54.87  0.45 % Participant Avg. Hierarchical Classif. Accuracy Avg. Raw Classif. Accuracy IM_svm 76.6  0.5 %68.3  1.0 % TL 75.6  0.6 %66.7  0.9 % ME 75.0  0.4 %66.6  0.7 % GT 74.1  0.4 %65.3  0.2 % ME_spec 73.6  0.7 %65.5  1.1 % GH 71.9  0.3 %62.9  0.5 % IM_knn 64.8  0.2 %54.9  0.5 % ¡OJO!: 3 medidas  se usa desv. std.  Sería más correcto usar la dispersión. 3 experimentos (leave 1/3 out) Resultado base 1/10  10%

Visualización gráfica: Ejemplo práctico (MIREX 2007) Audio genre classification Participant Avg. Hierarchical Classif. Accuracy Avg. Raw Classif. Accuracy IM_svm 76.6  0.5 %68.3  1.0 % TL 75.6  0.6 %66.7  0.9 % ME 75.0  0.4 %66.6  0.7 % GT 74.1  0.4 %65.3  0.2 % ME_spec 73.6  0.7 %65.5  1.1 % GH 71.9  0.3 %62.9  0.5 % IM_knn 64.8  0.2 %54.9  0.5 %

Resultados publicados: Ejemplo práctico (MIREX 2007) Audio classical composer identification Participant Avg. Raw. Classif. Accur. IM_svm53.72 % ME_spec52.02 % IM_knn48.38 % ME47.48 % TL47.26 % GT44.59 % KL19.70 % Resultados correctos: Participant Avg. raw Classif. Accur. IM_svm 53.7  0.7 % ME_spec 52.0  0.7 % IM_knn 48.4  0.7 % ME 47.5  0.3 % TL 47.3  0.3 % GT 44.6  1.0 % KL 19.4  0.8 % Participant Avg. Raw. Classif. Accur. IM_svm  0.66 % ME_spec  0.66 % IM_knn  0.67 % ME  0.33 % TL  0.26 % GT  1.00 % KL  0.80 % 3 experimentos Resultado base 1/11  9%

Resultados publicados: Ejemplo práctico (MIREX 2007) Audio artist identification Resultados correctos: Participant Avg. raw Classif. Accur. IM_svm 48.1  0.6 % ME_spec 47.2  0.4 % ME 40.5  0.2 % TL 38.8  0.6 % GT 36.7  0.8 % IM_knn 35.3  0.6 % KL 9.7  0.2 % 3 experimentos Resultado base 1/102  1% Participant Avg. raw Classif. Accur. IM_svm48.14 % ME_spec47.16 % ME40.46 % TL38.76 % GT36.70 % IM_knn35.29 % KL 9.71 %

Resultados publicados: Ejemplo práctico (MIREX 2007) Audio music mood classification Participant Avg. raw. Classif. Accur. GT61.50 % CL60.50 % TL59.67 % ME57.83 % ME_spec55.83 % IM_svm55.83 % KL_ % IM_knn47.17 % KL_ % Resultados correctos: 3 experimentos Resultado base 1/5  20 % Participant Avg. raw. Classif. Accur. GT 61  4 % CL 60  2 % TL 60  3 % ME 58  2 % ME_spec 56  3 % IM_svm 55.8  0.9 % KL_  2 % IM_knn  2 % KL_  2 %