Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5 th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University 1 CAPÍTULO 19 MÁS SOBRE VARIACIONES Y TOMA DE DECISIONES BAJO RIESGO McMc Graw Hill INGENIERÍA ECONÓMICA Quinta edición Blank y Tarquin

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5 th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University 2 CAPÍTULO 19 Objetivos de aprendizaje McMc Graw Hill INGENIERÍA ECONÓMICA Quinta edición Blank y Tarquin

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University3 19. Objetivos de aprendizaje 1. Entender los conceptos certidumbre y riesgo. 2. Examinar variables y distribuciones. 3. Relacionarlas con el contexto de variables aleatorias. 4. Estimar el valor esperado y la desviación estándar a partir de un muestreo. 5. Entender y aplicar las técnicas Monte Carlo y la simulación a problemas de ingeniería económica.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5 th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University 4 CAPÍTULO INTREPRETACIÓN DE CERTIDUMBRE, RIESGO E INCERTIDUMBRE McMc Graw Hill INGENIERÍA ECONÓMICA Quinta edición Blank y Tarquin

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Certidumbre, riesgo e incertidumbre Se ha dicho que “no hay nada seguro en este mundo, excepto la muerte y los impuestos”. Las situaciones y el paso del tiempo generan cambios, variaciones e inestabilidad. La ingeniería económica se ocupa de varios aspectos de un futuro muy incierto.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Una parábola que vale la pena recordar Ayer es historia… hoy es “ahora mismo”… y mañana es un misterio. Poniendo esto en perspectiva: Los contadores trabajan con el ayer. Los ingenieros se ocupan del mañana…  cuando se trata de ingeniería económica. Entonces, ¿cómo podemos tratar con las incertidumbres de una estimación futura?

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Certidumbre La mayoría de los capítulos de este texto han presentado problemas en los que los valores eran conocidos: Se suponía que ocurrirían con certidumbre; ¡Lástima que el mundo real no sea así! Casi el único parámetro de un problema del cual puede haber “certidumbre” o casi certidumbre es el precio de compra de un activo; todos los demás paráme- tros varían con el tiempo.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Toma de decisiones bajo riesgo El riesgo se asocia con los siguientes conocimientos acerca de un parámetro: 1. El número de valores observables y 2. La probabilidad de que cada valor se presente. 3. Cuál es el “estado de la naturaleza” del proceso en cuestión. La toma de decisiones bajo riesgo

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Toma de decisiones bajo incertidumbre Tendremos dos o más valores observables; Sin embargo, veremos que es muy difícil asignar la probabilidad de que ocurran los resultados posibles; A veces nadie está dispuesto ni siquiera a tratar de asignar probabilidades a los resultados posibles.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Resultados discretos contra continuos Si un parámetro es “discreto”, entonces hay un número finito de eventos que pueden ocurrir, e intentamos asignar una probabilidad a cada resultado. Si un parámetro es de carácter continuo, entonces se puede asumir un número infinito de valores entre dos límites fijos y lo tendremos que analizar con funciones continuas.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.1 Dos personas evalúan los costos de una boda: (Charles y Sue) Las estimaciones de Charles son (subjetivas) Costos estimadosProb (costo) $ $ $

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ej Histograma: Charles Salida producida por el software adicional para Excel RiskView de Palisade Observe el valor medio para Charles: $4 200 para los costos de la boda.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.1 Sue, por su parte, calcula los siguientes costos estimados para la boda Costos estimadosProb (costo) $8, $10, $15, ¡Deberíamos compadecer al padre de Sue: él tendrá que pagar los costos de la boda!

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Distribución de probabilidad de Sue El valor medio de Sue para la boda es de $

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Gráficas PDF fusionadas de Charles y Sue Después de discutirlo, ellos acuerdan que por la boda deberán pagar entre $7 500 y no más de $10 000, con igual probabilidad. Este es el acuerdo de distribución uniforme de entre y con igual probabilidad.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Antes de empezar un estudio: Se debe decidir lo siguiente: Análisis bajo certidumbre (estimaciones puntuales); Análisis bajo riesgo:  Asignar valores o distribuciones de probabilidad a los parámetros especificados;  Considerar las varianzas;  ¿Cuáles de los parámetros van a ser probabilísticos y cuáles se tratarán con la “certidumbre” de que van a ocurrir?

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Dos formas de considerar el riesgo 1. Análisis del valor esperado 1. ¿Discreto o continuo? 2. Se deben asignar o suponer probabilidades/distribuciones de probabilidad. 2. Análisis de simulación 1. Asigne distribuciones de probabilidad relevantes: 2. Genere datos simulados aplicando técnicas de muestreo a partir de las distribuciones supuestas.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Análisis bajo incertidumbre Esta es la “peor” situación que se puede presentar. Aquí, los estados de la naturaleza pueden ser conocidos o no, o bien, Los estados de la naturaleza pueden ser definidos, pero la asignación de distribuciones de probabilidad equivale, cuando mucho, a “un disparo en la oscuridad”. ¿Qué debe hacer? Trate de pasar de cierto grado a un mejor nivel de riesgo aceptable. (De ahora en adelante, supondremos que la toma de decisiones se efectúa bajo riesgo.)

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5 th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University 19 CAPÍTULO ELEMENTOS IMPORTANTES PARA LA TOMA DE DECISIONES BAJO RIESGO McMc Graw Hill INGENIERÍA ECONÓMICA Quinta edición Blank y Tarquin

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Fundamentos de probabilidad y estadística VARIABLE ALEATORIA Es una regla que asigna un resultado numérico a un espacio muestral. Describe un parámetro que puede asumir uno cualquiera de diversos valores dentro de cierto rango. Las variables aleatorias (RV) pueden ser:  Discretas o  Continuas.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Dos tipos Discreta – asume sólo valores finitos. Continua – Puede asumir un número infinito de valores dentro de un rango definido.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Probabilidad Un número entre 0 y 1. Representa una “oportunidad” de que algunos eventos ocurran. Notaciones: P(X i ), P(X = X i ): se lee como: “La probabilidad de que la variable aleatoria, X, asuma un valor de, por ejemplo, X i ”

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Probabilidad Para un evento dado y todos los resultados posibles de ese evento: La suma de las probabilidades de todos los resultados posibles debe ser igual a Una asignación de probabilidad de “0” significa que es imposible que el evento ocurra.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Distribuciones de probabilidad Es una función que define cómo se distribuye la probabilidad sobre los diferentes valores que una variable aleatoria puede asumir.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Distribuciones de probabilidad Los valores individuales de probabilidad se estable- cen así: P(X i ) = probabilidad de que X = X i [19.1] “X” representa la variable aleatoria o regla (por ejemplo, una función matemática) X i representa un valor específico generado a partir de la variable aleatoria, X. Recuerde que lo más común es que la variable aleatoria, X, sea una regla o función que asigna probabilidades.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Distribuciones de probabilidad Las probabilidades se desarrollan en dos formas: 1. Haciendo un listado de resultados y las probabilidades asociadas; 2. A partir de una función matemática que sea una función de probabilidad apropiada.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Distribución de probabilidad acumulativa La distribución de probabilidad acumulativa o CDF – función de distribución acumulativa: Representa la acumulación de las probabilidades sobre todos los valores de la variable. Notación: F(X i )

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University La forma general CDF F(X i )= P(X  X i ) para toda i en el dominio de X.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.2 datos Núm. de tratamientos por día Prob. de reducción de la infección Datos discretos con siete resultados posibles. Lo más común es que las probabilidades se desarrollen a partir de observaciones experimentales.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.2 CDF calculados Núm. de tratamientos por día Prob. de reducción de la infección Probabilidad acumulativa

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Distribuciones de probabilidad discretas PDF y CDF a partir del ejemplo 19.2

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Distribución continua: uniforme Si la distribución en cuestión representa resultados que pueden asumir un rango de valores continuo, entonces: El modelo se describe por medio de alguna asignación de distribución ajustada de tipo continuo. Un tipo común de distribución es la: DISTRIBUCIÓN UNIFORME

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Distribución uniforme Discreta o continua: En caso de que sea continua, la nueva notación: f(X) denota la PDF de la variable aleatoria; F(X) denota la función de densidad acumulativa (CDF) de la variable aleatoria.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University PDF para la distribución uniforme f(X) X AB ( ;, )f X A B 1 : 0: Si no es así. A X B B A        

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Igual probabilidad Para la distribución uniforme Se considera que todos los valores desde A hasta B tienen la misma posibilidad de ocurrir. Por lo tanto, todos los valores, desde A hasta B tienen la misma probabilidad de presentarse. Vea el ejemplo 19.3 donde hallará un modelo de flujo de efectivo.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.3 – modelo de flujo de efectivo Cliente 1 Flujo de efectivo estimado bajo: $ Flujo de efectivo estimado alto: $ Uniformemente distribuido entre $ y $ Se supone que el flujo de efectivo se describe mejor como como una variable aleatoria uniformemente distribuida entre $ y $

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.2: cliente 1, distribución PDF – uniforme{10 k – 15 k } CDF a partir de la PDF

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Parámetros para la distrib. uniforme Densidad f(X): Densidad acumulativa, F(X):

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Distribución uniforme Media: Varianza:

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Cliente 1: pregunta ¿Cuál es la probabilidad de que el flujo de efectivo mensual no sea mayor de $12 000? P(X  ) = F(12 000); A = ; B = f(X) = 1/(15 – 10) = 1/5 = F(12) = acumulativo de “12”;  = (12 – 10)/5 = 4/5 = 0.80:  ¡80% de posibilidad de que el CF sea de $ o menos!

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.3: cliente 2 Parámetros para el cliente 2: Distribución supuesta – triangular Parámetros: Baja = 20 ($ x 1 000) Muy probable: 28 ($ x 1 000) Alta: 30 ($ x 1 000). La distribución triangular se usa para hacer el modelo del flujo de efectivo del cliente 2.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Distribución triangular Típicas pdf y cdf triangulares: PDF – cliente 2CDF – cliente 2

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Parámetros para una distr. triangular L = valor bajo; M = muy probable; H = valor alto. f(X) está en dos partes:

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.2: cliente 2, P(X  25,000) “M” es la moda de la distribución; Moda es el valor que se presenta con más frecuencia. Para la triangular: f(moda) = f(M) = 2/(H-L); (19.5) Acumulativa F(M) = (M-L)/(H-L)(19.6) f(28) = 2/(30-20)= 0.2 = 20% El punto de equilibrio está en la moda, M = 28; F(28) = P(X  28) = (28-20)/30-20) = 0.8

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.3: cliente 2, análisis Dados las CDF y F(X), se localiza el 25 en el eje-x, se proyecta hacia arriba hasta la curva y allí se lee

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5 th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University 46 CAPÍTULO MUESTRAS ALEATORIAS McMc Graw Hill INGENIERÍA ECONÓMICA Quinta edición Blank y Tarquin

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Muestras aleatorias Suponga un parámetro económico que puede ser descrito por medio de una variable aleatoria – X. Suponemos que la variable aleatoria, X, tiene una media y una varianza reales que se representan por:  - el valor medio real (pero posiblemente desconocido) del parámetro y;  2 – la varianza real (pero posiblemente desconocida) del parámetro.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Muestras aleatorias – población Una población se define como una colección de objetos, elementos, o todos los resultados posibles que una variable puede asumir. Una población puede ser: Infinita en número o Finita. Una población se caracteriza numérica- mente por los parámetros de población.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Muestras aleatorias: parámetros de población Igual que una variable aleatoria, una población posee (numéricamente) una: Media , Varianza  2. En la práctica, podemos definir la población, pero probablemente no sabemos la media y la varianza reales de la población.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Muestras aletorias: inferencia En el área de la estadística aplicada, se muestrea generalmente a partir de la población definida, con el fin de hacer inferencias relativas a la población. Siempre se presenta incertidumbre cuando se muestrea partiendo de una población matriz. Por eso el área de las probabilidades se estudia generalmente antes que la estadística.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Muestras aleatorias: relaciones clave El siguiente diagrama presenta un panorama general de las relaciones entre: Poblaciones, probabilidad, una muestra y la estadística. Población Muestra Ref: Probability and Statistics for Engineering and the Sciences, 4 a edición, Jay Devore (Duxbury), pág. 3. Probabilidad Estadística

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Muestra aleatoria: estimación puntual En muchos casos suponemos certidumbre. Ofrecemos una estimación puntual del parámetro en cuestión. Una estimación puntual es una muestra de tamaño 1, tomada de la población especifica. Un análisis bajo “certidumbre” es esencialmente la aplicación de una estimación puntual, la cual es una muestra de tamaño 1.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Muestra aleatoria Si investigamos el parámetro de interés y hacemos otra estimación, tendremos: La estimación original y Una segunda estimación:  Así pues, ahora tenemos una muestra de tamaño 2. Una estimación puntual es entonces: El valor más probable que percibimos en el momento de la estimación, o una estimación del valor medio.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Muestra aleatoria Una población se compone de dos o más resultados (valores). La población media, , es: Con frecuencia, intentamos estimar  de una muestra extraída de la población.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Muestra aleatoria Una muestra aleatoria de tamaño n es la selección – de manera aleatoria – de n valores tomados de la población especificada. Aleatoria significa que el procedimiento de muestreo supone o requiere que cada elemento de la población tenga la misma oportunidad de formar parte de la muestra.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Muestra aleatoria: variabilidad Suponemos que no todos los elementos que integran una población son del mismo valor. Tal vez todos los valores son diferentes, o la mayoría lo son. Por lo tanto, a una población se le aplica un concepto llamado: Varianza

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Varianza de una población La varianza de una población es una medida de la dispersión de cada elemento de la misma con respecto al valor medio de la población. Si todos los valores de la población son numéricamente “cercanos”, entonces la varianza será “pequeña”. Si los valores no son tan cercanos, entonces la varianza asociada será “más grande”.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Varianza – definida para una población Varianza de una población – denotada como Var(X) computacionalmente, es: Elevar al cuadrado el término entre ( ) elimina los efectos de los signos negativos en la sumatoria.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Varianza de población La varianza es la suma de los cuadrados de las desviaciones con respecto a la media de la población. Las desviaciones pequeñas generan una varianza más pequeña; las desviaciones grandes generan una varianza más grande.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Concepto de varianza y muestreo Se muestrea para saber algo acerca de la población especificada. Podemos usar resultados de muestras (media, varianza,…) como estimaciones de la variable aleatoria en cuestión. Las muestras de tamaño grande (por ej., de 30 o más) dan por resultado más precisión en la estimación, a diferencia de lo que pasa con las muestras pequeñas (menos de 30).

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Muestra aleatoria: simulación Se “muestrea” a partir de una población, ya sea para hacer inferencias acerca de la población o para: Simular la población. La simulación es el arte y ciencia de generar datos artificales a partir de una o varias variables aleatorias por medio de técnicas de muestreo estadístico.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Muestreo y variabilidad Si una población tiene un alto grado de varianza entre sus miembros, entonces: Las muestras extraídas de esa población tendrán también una varianza alta: La varianza alta inhibe la estimación precisa; Mientras más alta sea la variabilidad de una población, tanto menos confiables serán las estimaciones de la muestra. La variabilidad es un factor clave en la estimación.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Repaso de la distribución uniforme Suponga una distribución uniforme donde A = 0 y B = 1. La media de la {0,1} uniforme es 0.5

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Generación de números aleatorios {0,1} uniformes La distribución uniforme – U{0,1} – es, por mucho, la distribución que más se usa en toda la estadística. Se han escrito numerosos programas de software, en diversos lenguajes, para generar números aleatorios de 0 a 1. Excel apoya un generador de la función de números aleatorios.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Muestra aleatoria La función RAND de Excel RAND( ) Observaciones Para generar un número real aleatorio entre a y b, use: RAND()*(b-a)+a Si desea usar RAND para generar un número aleatorio, pero no quiere que los números cambien cada vez que se calcula la celda, puede ingresar =RAND() en la barra de fórmulas, y luego presionar F9 para cambiar la fórmula a un número aleatorio. Ref. Microsoft’s Excel Help Data base.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University La función RAND de Excel Si marca y arrastra hacia abajo la celda superior, Excel generará un número aleatorio diferente en cada celda.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Números aleatorios distintos de {0,1} Excel apoya la función RANDBETWEEN. RANDBETWEEN(inferior,superior) Inferior es el entero más pequeño que va a generar RANDBETWEEN. Superior es el entero más grande que va a generar RANDBETWEEN.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University La función RANDBETWEEN Descripción de la fórmula: (Resultado)=RANDBETWEEN (1 100) Genera un número uniformemente distribuido entre 1 y 100

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University La función RANDBETWEEN Descripción de la fórmula: (Resultado)=RANDBETWEEN (1 100) Genera un número uniformemente distribuido entre 1 y 100

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University La función RANDBETWEEN – ejemplo

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Muestreo a partir de una distribución discreta Nuestro objetivo es iniciar resultados de simulación a partir de una distribu- ción de probabilidad discreta. Aplicamos un proceso conocido como: Método de transformación inverso. Esto forma parte de un proceso que se conoce como: Muestreo de Monte Carlo Subproducto del desarrollo de la bomba atómica en en los Estados Unidos.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Simulación a partir de un proceso discreto Primero, se define el conjunto de la distribución de probabilidad: use el ejemplo Dado un conjunto de probabilidad discreta con tres resultados posibles: { 24, 30, y 36).

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.4: paso 1 Generar las pdf y cdf. PDF CDF

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.4: paso 2 Usando la CDF, elija un tamaño de muestra. Suponga “n” = 10. Genere 10 U{0,1} números aleatorios. Suponga que los 10 números son los que muestra el ejemplo 19.4

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.4: 10 RN uniformes Núm. de muestra Número aleatorio A continuación, “trace el mapa” del RN en la CDF y observe el resultado para ese número aleatorio. El RN se localiza en el eje y: Proyecte sobre la curva CDF, luego baje al eje- x y lea el resultado asociado. Esto se llama el método de transformación inversa.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.4: primer RN = 45 Primer RN = 45 (suponga 0.45) Observe el resultado como N = 30 meses

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.4: continúe con otros RN

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Resumen de resultados para n = 10 Tomando como base el ejemplo 19.4, los 10 resulta- dos “simulados” se muestran en la siguiente diapositiva.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Resumen de resultados para n = 10 Núm. muestra Número aleatorio Resultado simulado Los resultados simulados son proporcionales a las probabilidades originalmente asignadas.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Preguntas sobre el tamaño de la muestra Un tamaño de muestra 10 no basta para hacer un análisis de simulación razonable para un problema del mundo real. En la modelación de simulación de flujos de efectivo, el tamaño de la muestra es un tema esencial. Obviamente, son mejores los tamaños de muestra grandes (proporcionan más información y se aproximan más a la situación que se desea evaluar).

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Estadística de muestra para n = 10: ejemplo 19.4 Muestra Resulta- do núm Med Var Dis.-est A partir de una muestra de tama- ño 10, la media de la muestra es 32.40, con una varianza asociada de 9.60.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Proceso continuo Si el proceso bajo estudio se considera “continuo,” entonces las pdf y cdf asociadas deben ser generadas. Suponga una distribución uniforme continua para ilustrar el caso. Use el ejemplo 19.3, datos del cliente 1. Flujo de efectivo bajo estimado: $ Valor alto estimado: $ Media = ( )/2 = 12.5 ($12 500)

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Muestreo de una distr. uniforme continua Enfoque gráfico: Elija el tamaño de la muestra (use 10 de nuevo). Genere 10 U(0,1) números aleatorios. Genere la CDF para la distribución uniforme y grafique. Siga un procedimiento similar al del caso discreto. La pdf y la cdf para la distr. uniforme se presentan en la siguiente diapositiva.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University PDF y CDF para la distr. uniforme (10,15) ¡Se “muestrea” siempre a partir de CDF! Genere un número aleatorio U{0,1} “Trace” el RN hasta la curva de la CDF. Proyecte hacia el eje x para ver el resultado.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Para el ejemplo 19.4: cliente 1 Suponga que el RN es “45.” Esto se puede interpretar como Localice 0.45 sobre el eje y; Proyecte hacia la derecha para intersecar la curva CDF; Luego proyecte hacia abajo hasta el eje-x para leer el resultado asociado para y = 0.45.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.4: usando la CDF uniforme RN = 0.45 resultado dado RN = 0.45 es X = Este sería el primer resultado para la primera muestra. Repita esto para todos los demás RN.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Generación de números aleatorios Excel y todos los demás programas de simulación admiten la generación de números aleatorios uniformes. Un generador de números aleatorios U(0,1) (programa de software) genera una secuencia o corriente de números aleatorios entre 0 y “0” y “1” no se pueden generar a causa del software y la aritmética de punto flotante asociados a las computadoras digitales.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University La cuestión del tamaño de la muestra Para la simulación de flujos de efectivo usando software de computadora, el tamaño de la muestra puede ser práctica- mente tan grande como el analista lo desee (no es raro que sea o más). El muestreo se basa en: La ley de los números grandes y El teorema central de límites de la estadística.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Tamaños de muestra Muestras pequeñas – de menos de 30 Aplicar la distribución t de la estadística. Tamaños grandes de muestra – de 30 o más. Estudios de simulación – de a por ejecución son frecuentes y requieren muy poco tiempo de computadora. Obviamente, mientras más grande es la muestra, mayor es la confiabilidad del uso de esos valores.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5 th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University 90 CAPÍTULO CÁLCULOS DE VALOR ESPERADO PARA ALTERNATIVAS McMc Graw Hill INGENIERÍA ECONÓMICA Quinta edición Blank y Tarquin

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Valor esperado Dada una variable aleatoria – X. Dos propiedades importantes: Valor esperado de X; designado E(X). Varianza de X. designada Var(X). ¡SI toda la población fuera conocida y estuviera disponible, entonces todos los parámetros se podrían calcular directamente!

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University ¿Por qué hay que usar muestras? Se muestrea una población como un intento de estimar alguna propiedad o valor de un parámetro de población real pero desconocido. Por lo tanto, las muestras aleatorias son extraídas o generadas a partir de la población específica que se va a estimar; es decir, son un parámetro de las poblaciones.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Estimadores comunes Dada una población con parámetros poblacionales:  – valor medio de la población;  2 – varianza de la población. Nos concentramos en la estimación del valor medio –  – de una población.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Asuntos de notación Enfocamos dos cunjuntos de notación: Grupo 1: Parámetros de población  Expresados por medio de símbolos griegos   - media de la población;   2 – varianza de la población;   - desviación estándar de la población. Grupo 2: estimadores de muestras Media de una muestra de tamaño “n.” s 2 – Varianza de la muestra s – Desviación estándar de la muestra

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Valor esperado (operación) Valor esperado es el promedio esperado a largo plazo si la variable consiste en muestras obtenidas un gran número de veces. Estimación de la media de población – .

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Media de una muestra de tamaño “n” Media de la muestra. Tome o extraiga una muestra de tamaño “n” a partir de una población. Se requiere que la muestra sea “aleatoria” – que cada elemento de la población tenga la misma oportunidad de ser seleccionado: Si no es así, la muestra está “sesgada”. Calcule el valor medio de la muestra…

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Valor medio de la muestra: X barra La media de una muestra de tamaño “n” es:

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University La media de la muestra Es la medida de la tendencia central de un conjunto de valores. La media de la muestra X se denomina estimador no sesgado de la media de población – .. No sesgado significa:

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Media de la muestra Por consiguiente, una muestra de tamaño suficiente es, por ejemplo, de 30 o más: La media de la muestra se calcula a partir de los datos de la muestra: La media de la muestra, X, se usa luego como una estimación puntual del valor medio real, pero desconocido, de una población, .

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Estimador no sesgado Un estimador, o el proceso de calcular la estimación deberá: Proporcionar un resultado numérico que se aproxime al parámetro de población que se está estimando. No estar “sesgado” en ninguna forma. La media de una muestra de tamaño n se denomina estimador no sesgado de la media de población. Esta es la razón por la cual se usa a menudo una media de la muestra como un estimador “puntual” confiable.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Otras medidas de tendencia central Media – ya ha sido discutida aquí. Moda: Es el valor que se presenta con más frecuencia en una población o en una muestra. La moda es un estimador sesgado de la media de población. Mediana: Es el valor donde el 50% de las observaciones están por debajp del valor de la mediana y el otro 50% está por arriba del valor de la mediana (estimador sesgado).

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Medidas de variabilidad Varianza de una población:

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Desviación estándar de una población La desviación estándar de una población; Simbolizada por  es:

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Varianza: notas  2 = Var(X);

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Varianza y desviación estándar de la muestra Muestra de tamaño “n.”

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Forma computacional de la varianza Una forma alternativa de calcular la varianza de una muestra es:

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Varianza y desviación estándar de la muestra Muestra de tamaño “n.” Nota: La varianza es la suma de los cuadrados de las distancias (desviaciones) de cada variable de la muestra con respecto al valor medio del conjunto. El divisor (n-1) es necesario para permitir que s 2 sea un estimador no sesgado de  2.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Combinación de la media y la varianza Se acostumbra referirse a los siguientes valores por arriba y por abajo de un valor medio. Donde “t” suele ser igual a { 1, 2, 3 }

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University t = 1, 2, 3: En la mayoría de las aplicaciones de inge- niería económica encontraremos que: Prácticamente todos los valores de la muestra estarán dentro de desviaciones estándar de  3 del valor medio de la muestra. Para la distribución normal (ejemplo 19.10) veremos que mucho más del 99% de los valores distribuidos normalmente estarán dentro de desviaciones estándar de  3 respecto al valor medio de la muestra.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Distribuciones de la muestra Ejemplos de diferentes medias y desviaciones estándar.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.5 Cobro por servicios públicos a dos pobla- ciones diferentes (datos norteamericanos) MuestraX (x-xbarra) Cuadrado núm.de la desv Media116.29Suma

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.5 Cobro por servicios públicos a dos po- blaciones diferentes (datos asiáticos) MuestraX(x-x barra)Cuadrado núm.de la desv Media Suma

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Comparaciones… La dispersión de los datos de la muestra asiática es menor que la de la muestra norteamericana (NA). El análisis con Excel se presenta en la siguiente diapositiva…

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Comparación de las dos muestras Norteamericana MuestraX núm Media Var6, Desv. std Max275 Min40 Rango235 Asiática MuestraX núm Media Var2, Desv. std.53 Max190 Min84 Rango106 La varianza de la muestra norteameri- cana es mayor que la varianza de la mues- tra asiática. Nota: El rango (max – min) de la muestra de Norteamérica también es mayor. La muestra norte- americana tiene más variabilidad que la muestra asiática.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Funciones Excel de estadística aplicada

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Rangos de desviación para el Ej Examine: “bandas”  (1)(s) y (2)(s) para los datos NA. Desviación estándar para NA: Media de la muestra: Seis de cada siete datos de valores caen en este rango, o sea, el 85.7%.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Dispersión de ambas muestras (Fig. 19-9)

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Funciones continuas: resumen PDF continuas: Reemplace las sumatorias con integrales; Sobre el rango definido de la variable aleatoria en cuestión. Haga que R represente el rango definido de la pdf específica. P(X) es reemplazado por el elemento diferencial f(x)dx.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Relaciones clave para RV continuas Si la variable aleatoria RV) se ha descrito como una función continua, las siguien- tes relaciones son válidas: E(X) =  = $12.5

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Var(X): uniforme continua La varianza de la función uniforme continua es:

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Resumen Para una función uniforme continua{10,15}; La media  = $12.5; La varianza es  2 = Var(X) =  2.08 La desviación estándar  =  $1.44 Por lo tanto, la media para U{10,15} = $12.5 y la varianza = 2.08.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University A continuación… La siguiente sección presenta una visión general de una metodología de simulación fundamental llamada, Muestreo de Monte Carlo y… nos introduce a la simulación básica de flujos de efectivo.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5 th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University 123 CAPÍTULO MUESTREO DE MONTE CARLO Y ANÁLISIS DE SIMULACIÓN McMc Graw Hill INGENIERÍA ECONÓMICA Quinta edición Blank y Tarquin

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Muestreo de Monte Carlo El muestreo de Monte Carlo es un enfoque (método) tradicional para la generación de números pseudoaleatorios y para realizar un muestreo a partir de una distribución de probabilidad prescrita. Pseudoaleatorio se refiere al hecho de que una computadora digital es capaz de generar números aleatorios aproximados, en virtud de que su “tamaño de palabra” es fijo y puede redondear los problemas.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Muestreo de Monte Carlo Se requiere: La CDF de la pdf supuesta; Un generador de números aleatorios uniformes; Aplicar el enfoque de transformación inversa. ¿Por qué se requiere la CDF? El eje-y de una CDF tiene una escala de 0 a 1. Que es la misma que el rango de U(0,1). Ayuda a trazar el mapa de un RN para lograr el valor resultante sobre el eje x. El U(0,1) selecciona un valor X a partir de CDF.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo de muestreo de Monte Carlo Probabilidad acumulativa XjXj A U(0,1) R. N.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Simulación con el muestreo de Monte Carlo Formule el análisis económico: Las alternativas – si hay más de una; Defina qué parámetros son “constantes” y cuáles se considerarán variables aleatorias. Para la(s) variable(s) aleatoria(s), asigne la PDF apropiada:  Discreta y/o continua. Aplique el muestreo de Monte Carlo – un tamaño de muestra “n” donde se sugiere que n  30. Calcule la medida del valor (PW, AW,…) Evalúe y saque conclusiones.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Suposiciones de la simulación Se supone que: Todos los parámetros son independientes; El valor de un parámetro dado de ninguna manera altera o influye en el valor de otro parámetro. Esto se conoce como:  La propiedad de las variables aleatorias independientes.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.7: generalidades, sistema 1 Dos sistemas alternativos ( i = 15%/año); Sistema 1  P = $12 000, no hay valor de salvamento.  n1 = 7 años;  No se ofrecen ingresos netos anuales.  Se considera que es una empresa de “alto riesgo”.  Suposición: NCF1-5 modelado mediante una U(-$4 000, +$6 000) continua – el mejor tanteo del analista.  Certidumbre: P = $ y n = 7!

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.7: generalidades, sistema 2 Sistema 2  P = $8 000, no hay valor de salvamento.  Ingreso neto anual = $1 000 en cada uno de los primeros 5 años;  Pero después de 5 años no se garantizan ingresos futuros.  La actualizaciópn del equipo puede ser útil hasta por 15 años – PERO se desconoce el número exacto de años que será útil.  Cancele cualquier tiempo posterior a 5 años.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.7: generalidades, sistema 2 Suposiciones sobre la variable: P 2 = $8 000; NCF G = $1 000 los primeros 5 años; NCF 2 años 6, 7, … se supuso que seguiría:  Uniforme discreta ($1 000 a $6 000) en incrementos de $ N 2 después de t = 5 suponiendo que U(6,15) sea continua.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Definir las variables aleatorias Sistema 1: NCF 1 = U(-4 000,6 000) Sistema 2: NCF2: U(1000,6000) discreta  =1000 Sistema 2: n 2 U(6,15)

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Formulaciones PW de los sistemas 1 y 2 PW 1 = -P 1 + NCF 1 (P/A,15%,n 1 ) [19.17] PW 2 = -P 2 + NCF G (P/A,15%,5) + NCF 2 (P/A,15%,n 2 -5)(P/F,15%,5) [19.18] Los ts in representan parámetros variables. NCF G = flujo de efectivo garantizado para el sistema 2 Los términos en representan parámetros que varían. NCF G = flujo de efectivo garantizado para el sistema 2

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Resumiendo: preparación analítica PW 1 = NCF 1 (P/A,15%,7) = NCF 1 (4.1604) [19.19] PW 2 = (P/A,15%,5) + NCF 2 (P/A,15%,n 2 -5)(P/F,15%,5) = NCF 2 (P/A,15%,n 2 -5)(0.4972) [19.20] En este punto – diseñe un modelo de hoja de cálculo para realizar una simulación de, por ejemplo, n = 30 muestras.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.8: modelo de hoja de cálculo Simule NCF 1 Se muestran los 5 primeros valores… Nota importante: Los valores mostrados en esta simulación pueden no coincidir con los valores de la figura 19-12, a causa de la incapacidad de generar la misma secuencia exacta de U(0,1) usada en el texto. =RAND()*100 =INT((100*$C )/100)*100 CDE Muestra núm.RN1(100)NCF1-$ $2, $4, $2, $3, $1,000

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Generación de NCF 2 NCF2 = DiscUniform{1000,6,000,  =1,000} Seis resultados posibles: {1,000,2,000,3,000,4,000,5,000,6,000} P(cada resultado) = 1/6 = Las categorías serán las que muestra la siguiente diapositiva…

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Asignaciones NCF-2 CDF RN desde-a NCF 2 será igual a…. 00 – 16$ $ $ $ $ $6 000

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University138 FGH Muest núm RN2(100)NCF2-$ $6, $2, $2, $2, $1, Generación de NCF-2 en Excel En Excel esto requiere una instrucción com- pleja de IF para encajar los RN generados en el valor de resultado apropiado. Se aplicará una estructura Nested IF. =IF($G7<=16,1000, IF($G7<=32,2000,IF($ G7<=49,3000,IF($G7 <=66,4000,IF($G7<=8 2,5000,IF($G7<=100, 6000,6000)

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Generación de n 2 La variable aleatoria – n 2, representa el periodo de tiempo en años DESPUÉS de t = 5. Sabemos que el sistema 2 tendrá una vida de 5 años por lo menos, pero podría ser hasta de 15 años. Tenemos que simular el número de años después de t = 5, y luego aplicar (P/A, n 2 -5) para regresar a t = 5. Véase [19.18, 19.20]

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Análisis “n 2 ” : La PDF La variable aleatoria n 2 se define como: Uniforme continua{6,15} f(x) = 1/(16-9) = 1/9 = Media = 10.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University La CDF para n 2 X = 15

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Generación de vida de n 2 Usamos la CDF para la función uniforme. El problema específico de la CDF es: F(X) = (x-baja)/(alta – baja); F(X) = (X -6)/(15-6); F(X) = (X-6)/9. Sea F(X) = a U(0,1) por ejemplo, RN j Entonces, RN J = (X-6)/9; (resuelva para X). X = 9(RN J ) + 6 (muestra la vida adicional después de 5 años)

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Generación de vida de n 2 … X = 9(RN J ) + 6 (muestra la vida adicional después de 5 años, dado el j-ésimo número aleatorio) Ecuación de celda: IJK Muest. núm RN3 N años =RAND() =INT(((9*J7)+1) +6)

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Ejemplo 19.8: cálculo de los PV Si “n” = 30, entonces se calcularán 30 valores individuales presentes sobre las diferentes vidas simuladas (sistema 2) y los flujos de efectivo que varían. A partir de los 30 resultados de PV, se determinará cuántos de los 30 generan un PV positivo y cuántos generan un PV negativo. Calcule los porcentajes de los 30 que tienen un valor presente positivo para cada alternativa.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Entrada del cuadro de datos de la función PV de Excel La función “PV” se usará para calcular los valores presentes asociados.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Hoja de cálculo de “número aleatorio” Se muestran las 5 primeras de 30 muestras para NCF1, NCF2 y N, del sistema 2. Estos valores no serán compa- rados con los de la figura porque Excel generó una secuencia de números aleatorios diferente.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Diseño de hoja de cálculo Para este ejemplo: Un libro de trabajp de Excel con Dos hojas de cálculo:  La hoja 1 se llama “Números aleatorios”  La hoja 2 se llama “Valores PW” Los cálculos resumidos de la hoja 2 se referirán a ciertos valores de la hoja de cálculo “Números aleatorios” y a los valores de la hoja de cálculo “Valores PW”.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Diseño general para el modelo Hoja 1 “Números aleatorios” Contiene los valores simulados como se especificaron en el enunciado del problema Hoja 2 “Valores PW” Calcula los 30 valores PW para los dos sistemas y hace el resumen. La hoja 2 contiene los 30 valores PW calculados por referencia a los datos de la hoja 1: Los resultados resumidos se presentan después en la hoja 2.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Cálculo de los 30 PW Parámetros de entrada Parámetros de entrada de las alternativas Sist. 1, P112,000.00$ Sist. 2, P28,000.00$ n7yrsNCF1,000.00$ 5Años MARR15%MARR15%

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Análisis de simulación: resultados Aquí se muestran las primeras cinco muestras y las dos últimas para una secuencia dada de los RN.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Análisis de una secuencia actual de RN En esta ejecución, 36.67% de los PW generados para el sistema 1 fueron positivos y el 63.63% fueron negativos. Sistema 2: 70% tuvieron PW positivos y 30% fueron negativos.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Comentarios finales Los resultados que aparecen en la diapositiva anterior se tomaron de una secuencia determinada de RN. La hoja de cálculo puede recalcularse y así se obtendrá una secuencia diferente de RN. El % positivo y el % negativo cambiarán de una ejecución a otra, tal como se esperaba.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Conclusiones basadas en la ejecución actual A partir de una muestra de tamaño 30: El sistema 2 presentó un mayor porcentaje de valor presente positivo, que el porcentaje de valor presente positivo del sistema 1. Esto nos podría inducir a pensar que, a la larga, el sistema 2 es la mejor alternativa. ¡Se sugiere aceptar el sistema 2!

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University La distribución normal Distribución popular Pdf continua. Con frecuencia se le llama la “curva en forma de campana.” Permite describir un gran número de aplicaciones físicas. Vea la figura 19-15…

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Diferentes distribuciones normales Medias diferentes con varianza igual. Medias diferentes con varianzas diferentes. Normal estándar con media = 0 y varianza = 1.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University PDF para la normal La función de distribución para la normal es: PDF: Nota: No hay una forma directa de generar números aleatorios normalmente distribuidos usando la transformación inversa. Hay que usar otros enfoques.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University La distribución normal estándar Calcule un valor “Z” como: Donde X barra es la media de la muestra y s es la desviación estándar de la muestra, Z está distribuida normalmente con una media de 0 y una varianza de 1. [19.22]

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Dificultades de la simulación Cuando se usa Excel, esta operación incluye la generación de números aleatorios de acuerdo con una distribución normal. La mayoría de las hojas de cálculo no admiten la operación de un generador de números aleatorios normales. Hay que usar otros métodos (consulte textos sobre simulación y la generación de números aleatorios a partir de una distribu- ción normal prescrita).

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Rangos de variación para la normal Rango variable XProbabilidadRango variable Z  + 1  a +1   1  a +1  + 2  a +2   2  a +2  + 3  a + 3   3  a +3

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University ¡Atención! Cuando la distribución normal se usa con una media cercana a 0, es posible que se genere un resultado negativo. Esto puede no ser aplicable al problema en cuestión. Algunos sistemas de software ofrecen una “normal truncada”, en la cual se puede especificar el límite inferior y (o) el superior.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5 th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University 161 CAPÍTULO 19 Resumen del capítulo McMc Graw Hill INGENIERÍA ECONÓMICA Quinta edición Blank y Tarquin

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Resumen Realizar una toma de decisiones bajo riesgo implica que algunos parámetros de una alternativa de ingeniería serán considerados como variables aleatorias. Se usan suposiciones sobre la forma de la distribución de probabilidad de la variable, a fin de explicar cómo pueden variar las esti- maciones de los valores de los parámetros. Además, medidas tales como el valor esperado y la desviación estándar describen la forma característica de la distribución.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Resumen En este capítulo aprendimos varias de las sencillas, pero útiles, distribuciones de población discretas y continuas que se usan en ingeniería económica –uniformes y triangulares–, así como la forma de especificar nuestra propia distribución o de suponer que la distribución es normal.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Resumen Como la distribución de probabilidad de pobla- ción para un parámetro no se conoce por completo, se obtiene generalmente una mues- tra aleatoria de tamaño n, y se determina el promedio y la desviación estándar de la muestra. Los resultados se usan para hacer declaracio- nes de probabilidad acerca del parámetro, lo cual ayudará a tomar la decisión final tomando en cuenta el riesgo.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Resumen El método de muestreo de Monte Carlo se combina con relaciones de ingeniería económica para realizar una medición de valor, como el PW, a fin de implementar un enfoque de simulación para análisis de riesgo. Los resultados de dicho análisis se pueden comparar después con las decisiones, cuando las estimaciones de parámetros se hacen con certidumbre.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Resumen El análisis de simulación es una herramienta poderosa cuando se usa correctamente. Hay que conocer a fondo la estadística aplica- da y la construcción de modelos. Existen en el mercado varios complementos de Excel que simplifican la simulación sofisticada de problemas de ingeniería económica. Ejemplo: de Palisade Corporations y “Crystal Ball” son complementos de Excel muy populares.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University Resumen La modelación de simulación es una valiosa herramienta para ayudar en el análisis de problemas de ingeniería económica cuando el riesgo es una consideración importante. La simulación se usa a menudo en los sectores industriales de petroquímica, manufactura, aeroespacial y otros también importantes.

Copyright © The McGraw-Hill Companies, Inc. Permission required for reproduction or display. Blank & Tarquin: 5 th edition. Ch.19 Authored by Dr. Don Smith, Texas A&M University 168 CAPÍTULO 19 Fin del conjunto de diapositivas McMc Graw Hill INGENIERÍA ECONÓMICA Quinta edición Blank y Tarquin