MATRIZ INVERSA POR DETERMINANTES Bloque I * Tema 032 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Recordando cálculo matriz inversa MÉTODO DE GAUSS-JORDAN Se coloca la matriz A y a su lado la matriz I separadas por una raya vertical de puntos. A continuación se procede a efectuar sobre las filas de A una serie de operaciones elementales, las mismas y al mismo tiempo que sobre las filas de la matriz I. Cuando, actuando así, hemos logrado transformar la matriz A en la I, la matriz de la derecha, que es la I transformada, será la inversa de A. Es decir: (A | I) las mismas operaciones en ambas  ( I | A – 1 ) @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS MATRIZ INVERSA Cálculo de la matriz inversa usando determinantes Dada una matriz cuadrada A, se llama matriz adjunta de A, y se representa por Adj(A), a la matriz de los adjuntos, Adj(A) = (Aij). Si tenemos una matriz tal que det (A) <> 0, se verifica: Esto es fácil probarlo puesto que sabemos que la suma de los productos de los elementos de una fila por sus adjuntos es el valor del determinante, y que la suma de los productos de los elementos de una fila por los adjuntos de otra fila diferente es 0 (esto sería el desarrollo de un determinante que tiene dos filas iguales por los adjuntos de una de ellas). @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 1 Realizado por Gauss-Jordan: Dada la matriz de orden 2: 3 4 -1 -3 2 A = , la inversa es A = 5 6 5/2 -3/2 Veamos por determinantes: |A|= 3.6 – 4.5 = 18 – 20 = – 2 <> 0 La matriz es inversible, pues |A|<>0 La matriz de los adjuntos será: 6 -5 t 6 -4 [Adj(A)] = , la traspuesta será [Adj(A)] = -4 3 -5 3 Luego la matriz inversa es: 6/(-2) -4/(-2) -3 2 = = -5/(-2) 3/(-2) 5/2 -3/2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 2 Realizado por Gauss-Jordan: Dada la matriz de orden 3: 3 4 0 -1 4/33 -6/11 -1/11 A = -2 1 -1 , su inversa es A = 7/44 9/22 3/44 5 0 6 -1/12 1/2 1/4 Veamos por determinantes: |A|= 18 – 20 + 48 = 46 <> 0 La matriz es inversible, pues |A|<>0 La matriz de los adjuntos será: 6 -7 -5 t 6 -24 -4 [Adj(A)] = -24 18 5 , la traspuesta será [Adj(A)] = -7 18 3 -4 3 -5 -5 5 5 Luego la matriz inversa es: 6/46 -24/46 -4/46 = -7/46 18/46 3/46 -5/46 5/46 5/46 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS

Matemáticas Acceso a CFGS Ejemplo 3 Dada la matriz de orden 3: 1 4 0 1 A = 0 1 -1 2 , hallar su inversa y comprobarlo. 0 0 2 0 0 0 0 1 Veamos por determinantes: |A|= 2 <> 0 La matriz es inversible, pues |A|<>0 La matriz de los adjuntos será: 2 0 0 0 t 2 -8 -4 14 [Adj(A)] = -8 2 0 0 , la traspuesta será [Adj(A)] = 0 2 1 -4 -4 1 1 0 0 0 1 0 14 -4 0 2 0 0 0 2 Luego la matriz inversa es: 1 - 4 -2 7 = 0 1 ½ -2 0 0 ½ 0 0 0 0 1 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Acceso a CFGS